Würfel

Bild: © ejaugsburg / Pixabay (modifiziert)

Mathematik für Rollenspieler

Lesezeit etwa 9 Minuten

Von Wahrscheinlichkeiten und Würfeln

Würfelwissen

Eines der wesentlichen Spielelemente bei den sogenannten Pen&Paper Rollenspielen ist neben eben jenen Stiften und Papieren der Würfel. Der, bzw. die Wüfel sind dabei für den Zufallsmoment im Spiel verantwortlich und entscheiden über Erfolg oder Patzer einer Probe sowie Sieg und Niederlage in einem Kampf. Während man bei klassischen Brett- und Gesellschaftspielen den schon zu Römerzeiten bekannten sechsseitigen Würfel (Alea) verwendet, kommen bei den Rollenspielen Würfel in ihren unterschiedlichsten Ausprägungen, insbesondere hinsichtlich ihrer Seitenzahl zum Einsatz. Mathematisch gesehen ist nur der sechsseitige, mit gleichlangen und rechtwinklig aufeinanderstehenden Kanten Kubus ein Würfel. Alle anderen Objekte sind eigentlich Polyeder. Doch umgangssprachlich bleiben die Spieler bei dem Begriff Würfel.

Zur genaueren Bestimmung, welcher Würfel gemeint ist, wird die Zahl der Seitenflächen des Würfels mit genannt. Der klassische Würfe ist also ein sechsseitiger Würfel, bzw. abgekürzt ein W6 (“W” für Würfel und “6” für seine sechs Seiten). Eine ganze Reihe von Würfeln haben sich für Rollenspiele etabliert und kommerziell erhältliche Pakete beinhalten üblicherweise vier-, sechs-, acht-, zehn-, zwölf- und zwanzigseitige Würfel, also W4, W6, W8, W10, W12 und W20. Faktisch kommen aber bei den meisten Rollenspielen nur W4, W6, W8, W10, W12 und W20 zum Einsatz. Immer häufiger findet man in den Spielen auch sogenannte W100 Angaben. Tatsächlich sind solche Zocchihedrons am Markt gelegentlich zu finden, doch in der Praxis würfelt man hier mit zwei unterschiedlichen zehnseitigen Würfeln (W10). Entweder hat man die Würfel in unterschiedlicher Farbe und legt fest, welcher Würfel die Zehnerstellen und welcher die Einerstellen angibt, oder man nutzt einen W10, der bereits die Zehnerzahlen (10, 20, 30, etc.) aufgedruckt hat zusammen mit einem regulären W10. Die letztere Variante ist sicherlich die einfachere.

Zur weiteren Notation sei nun noch eine letzter Punkt gegeben: Es wird oft nicht nur mit einem Würfel geworfen, sondern gleich mit mehreren. Die Zahl der erforderlichen Würfel wird dabei dem W vorangestellt. 3W6 bedeutet dann, dass mit drei sechsseitigen Würfeln gearbeitet wird.

Im internationalen Umfeld wird anstelle des “W” ein “D” für das englische Wort dice (Würfel) verwendet. 3D10 ist damit gleichbedeutend mit 3W10 (drei zehnseitig Würfel).

Der Hauptgrund für die Verbreitung der W100 liegt dabei in der Verständlichkeit. Des Menschen Alltag ist geprägt vom Dezimalsystem (10er Zahlensystem), so dass wir ohne langes Nachdenken auf einer Skala von 1 bis 10 oder 1 bis 100 rasch einschätzen können, ob etwas groß, klein und viel wichtiger über- oder unterdurchschnittlich ist. Bei einem Zahlenraum von 3 bis 18 (ergibt sich zum Beispiel aus 3W6) sieht man die Mitte nicht auf einem Blick. (Es ist 10,5 …) Ein W100 ergibt damit einen Prozentwert, also eine Zahl zwischen 1 und 100. Lediglich die Interpretation der 100 ist dann wieder systemabhängig. Die Zahl kann als 100, aber auch als 0 verstanden werden.

Übrigens: Wer keinen Würfel zur Hand hat, kann auch das Online Würfel Tool @RollButler verwenden.

Wahrscheinlichkeitsrechnung für Anfänger

Ein Spielwürfel, unabhängig von der Zahl seiner Seiten sollte eine Grundbedingung erfüllen: Er muss fair sein. Dies bedeutet, dass er nicht gezinkt ist und somit jede Zahl auf ihm bei einer genügend hohen Anzahl an Würfen gleich häufig fällt. Bei “genügend hoch” spricht ein Statistiker wirklich von hohen Zahlen. Wer selber seine Würfel überprüfen möchte, kommt mit 100 Würfen nicht aus und bei 1000 erhält man bestenfalls einen ersten Indiz.

Viele Rollenspieler würfeln ihre Würfel bei der Neuanschaffung im Geschäft Probe. Dabei lassen sie die Würfel eine handvoll mal fallen und schauen, ob denn Zahlen in der gewünschten Höhe fallen. Faktisch hat dies mehr mit Aberglaube als mit einer stochastischen Probe zu tun, aber immerhin ist die Chance, dass der Würfel – wenn er schon unfair ist – zukünftig in die gleiche Richtung ausschlägt, durchaus erhöht.

Ich gehe im Folgenden davon aus, dass es sich um faire Würfel handelt. Damit ist die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf dem Würfel gleich groß und zwar exakt \frac{1}{n}, bzw. \frac{100\%}{n} wobei n die Zahl der Seiten auf dem Würfel ist.

WürfelBezeichnungKlassenIdealSeitenpWahrscheinlichkeit
W2Münze, ZylinderPrismaja20,550,0%
W3Dreiecksprisma, hat eigentlich 5 Seiten oder als WalzePrisma, Walzeja wenn die Seitenflächen außer Acht gelassen werden oder als Walze30,33...33,3%
W4Tetraeder oder Quadratprisma oder Disphenoidpatonischer Körper, Walzeja40,2525,0%
W5DreiecksprismaPrismanein50,220,0%
W6Würfel, Hexaeder oder Rhomboeder, Parallelepiped oder Dreiecksantiprisma oder Kugelplatonischer Körper, Walze, Kugelja60,16716,7%
W7Fünfecksprisma oder SiebenecksprismaPrisma, Walzenur als Siebenecksprisma70,142914,3%
W8Oktaeder oder Quadratantiprismaplatonischer Körper, Walzeja80,12512,5%
W9SiebenecksprismaPrismanein90,11...11,1%
W10pentagonales Trapezoeder oder FünfecksantiprismaWalzeja100,110,0%
W12Dodecaeder oder Rhombendodekaeder oder Sechsecksantiprisma oder Zwölfecksprismaplatonischer Körper, Walzeja120,0838,3%
W14Kuboktaeder oder 14-seitiges TrapezoederSpindelnur Trapezoeder140,0717,1%
W1616-seitige BipyramideSpindelja160,06256,3%
W20Isokaeder oder Zehnecksantiprismaplatonischer Körper, Walzeja200,055,0%
W24Tetrakishexaeder oder Deltoidalikositetraederja240,4166...4,2%
W26Kleines oder großes Rhombenkuboktaedernein260,03853,9%
W30Rhombentriakontaederja300,033...3,3%
W32Ikosidodekaeder oder Ikosaederstumpf oder KugelKugelnein320,031253,1%
W3434-seitiges TrapezoederSpindelja340,02942,9%
W48Hexakisoktaeder oder 48-seitige BipyramideSpindelja480,020833...2,1%
W50Kugel oder 50-seitiges TrapezoederKugel, Spindelnur Trapezoeder500,022,0%
W100ZocchihedronKugelnein1000,011,0%

In dieser Tabelle sind unter anderem auch ein W2 und W3 angegeben. Diese Würfel existieren nicht als reguläre Polyeder, bzw. wenn dann durch exotische Flächenverdrehungen. Ein W2 kann in der Praxis durch einen Münzwurf oder wie auch der W3 durch entsprechende Division des Ergebnisses eines größeren Würfels erzielt werden. Bei einem W2 kann ein W4 genutzt werden, dessen Ergebnis man durch 2 teilt und dann kaufmännisch rundet (1 und 2 = 1; 3 und 4 = 2). Für den W3 eignet sich ein W6, bei dem das Ergebnis ebenfalls durch zwei geteilt wird (1 und 2 = 1; 3 und 4 = 2; 5 und 6 = 3).

Gauß für Rollenspieler

Bis hierhin sind Würfelergebnisse recht langweilig und geradlinig. Spannend wird es erst, wenn durch den Einsatz mehrerer Würfel die Ergebnisse in ihrer Häufigkeit verändert werden.

Die Welt in der wir leben ist nicht so gleichverteilt, wie es ein Würfel uns anbietet. Der Mathematiker Carl Friedrich Gauß hatte dies schon recht früh erkannt und eine Häufung von Stichproben um einen Mittelwert herum festgestellt. Faktisch bedeutet dies, dass Werte, die näher an dem Durchschnitt liegen häufiger auftreten, als Werte, die sich erheblich von der Mitte unterscheiden. Stellt man dies graphisch dar, so ähnelt die Verteilung einer Glocke, weshalb man auch von einer Gaußschen Glockenkurve spricht.

Betrachtet man dies einmal bei verschiedenen Anzahlen von W6 Würfeln, so sieht dies wie folgt aus:

 

Michael Jaegers / Jaegers.Net
© Michael Jaegers / Jaegers.Net

Noch deutlicher wird es, wenn noch ein weiterer Würfel hinzugenommen wird:

Michael Jaegers / Jaegers.Net
© Michael Jaegers / Jaegers.Net

Es ergeben sich daraus verschiedene Erkenntnisse:

  1. Der kleinstmögliche Wert, der erwürfelt werden kann, nimmt mit jedem zusätzlichen Würfel um eins zu und entspricht damit der Anzahl der verwendeten Würfel. Bei 3W6 ist es 3, bei 4W10 ist es 4.
  2. Der größtmögliche Wert, der erwürfelt werden kann, nimmt mit jedem zusätzlichen Würfel um die Zahl der Seiten zu. Der Zahlenraum nimmt dabei linear zu und der Maximalwert kann aus der Anzahl der Würfel multipliziert mit der Seitenzahl der Würfel errechnet werden. Bei 3W6 ist es 3\cdot6 = 18, bei 4W10 ist es 40.
  3. Der Maximal- und Minimalwert tritt in der Häufigkeitsverteilung jeweils einmal auf und hat damit die geringste Wahrscheinlichkeit. (Ausnahme bei einem Würfel, hier sind alle Ergebnisse gleich Wahrscheinlich.)
  4. Die größte Wahrscheinlichkeit hat der Wert in der Mitte der möglichen Zahlen. Der Wert errechnet sich aus (Maximalwert + Minimalwert)/2. Ist das Ergebnis keine ganze Zahl, sondern eine “Kommazahl”, so haben der nächstkleinere und nächstgrößere Wert jeweils eine gleich hohe Wahrscheinlichkeit. Beispiele: 2W6 Maximum 12, Minimum 2, Mittelwert \frac{12+2}{2} = 7; 3W6 Maximum 18, Minimum 3, Mittelwert \frac{18+3}{2} = 10.5 also 10 und 11.

Je deutlicher man die Glockenkurve ausprägen möchte, also je mehr Werte um den Mittelwert herum erwürfelt werden sollen, desto mehr Würfel müssen eingesetzt werden.

Aus diesem Grund wird bei Charaktererschaffungen gerne auf diesen Mechanismus zurückgegriffen, denn die Charaktere sollen möglichst der “Norm” entsprechen und nur in Ausnahmefällen deutlich davon abweichen. In der Natur unserer realen Welt verhält es sich ebenso. Die Köpergröße der meisten Menschen pendelt um den Mittelwert. Riesen und Kleinwüchsige sind eher selten.

© Michael Jaegers / Jaegers.Net
© Michael Jaegers / Jaegers.Net

Mit Wahrscheinlichkeit rechnen lernen

Wie berechnet man nun die Wahrscheinlichkeiten? Hierzu schaffen wir eine neue Begrifflichkeit, nämlich die des Gewinnereignisses. Ein Gewinnereignis ist jenes, welches erwünscht wird, bzw. zu den zu berechnenden gehören soll. Ein Beispiel: Gilt es die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der man eine Zahl größer oder gleich fünf mit einem W6 würfelt, so sind sowohl eine gewürfelte fünf als auch eine sechs jeweils ein Gewinnereignis.

Die nächsten zwei Begriffe sind die simplen Wörter UND und ODER. Damit formuliert man nun den beschreibenden Satz, der alle Gewinnereignisse beinhaltet: Gewonnen hat man, wenn man eine fünf ODER eine sechs würfelt.

Nun benötigt man nur noch die Wahrscheinlichkeit für das einzelne Ereignis (in dem Beispiel jeweils 0,167, bzw. 16,7%, bzw \frac{1}{6}. Die Wahrscheinlichkeitswerte für gängige Würfel sind oben in der Tabelle angegeben. Bei einem UND müssen die Wahrscheinlichkeiten multipliziert, bei einem ODER addiert werden. Für das Beispiel bedeutet dies also \frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}. (Ich empfehle das Rechnen mit den “Bruchzahlen”, oder den Dezimalzahlen (“Kommazahlen”), nicht jedoch mit den Prozentwerten.) Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen (eine fünf oder sechs zu würfeln) beträgt also \frac{1}{3}= 0,333 = 33.3\%.

Etwas komplizierter wird es, wenn mehrere Ereignisse miteinander verkettet werden. Beispiel: Beide Würfel müssen die gleiche Zahl anzeigen (Pasch). In beschriebenen Worten bedeutet dies: Der erste Würfel zeigt eine eins UND der zweite ebenso, ODER der erste Würfel zeigt eine zwei UND der zweite ebenso… In unsere Rechnung verwandelt ergibt sich damit bei einem W10

\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}+\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}
= 10\cdot(\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{10}) = \frac{1}{10} = 0.1 = 10\%

Zugegeben, dies kann beliebig kompliziert werden. Zur besseren Übersicht bieten sich auch Baumdiagramme an.

Zahlenmodifikatoren

Den Nebeneffekt des verschobenen Minimalwerts kann man durch Subtraktion einer konstanten Zahl wieder ausgleichen. Möchte man die Werte bei 1 beginnen lassen, so zieht man von dem gewürfelten Ergebnis die Zahl der Würfel-1 wieder ab. Beispiel: 3W6-2 oder 5W10-4. Hierdurch beginnen die Werte in jedem Fall bei 1, allerdings ist dann auch das Maximum entsprechend reduziert.

Ebenso kann die Glockenkurve durch Addition eines konstanten Wertes auch weiter nach rechts verschoben werden, also erst bei höheren Werten beginnen. Beispiel: 3W6+10 beginnt erst bei 13.

Möchte man nur gerade Zahlen erzeugen, so muss das Würfelergebnis mit zwei multipliziert werden, also zum Beispiel 2W6*2 (liefert gerade Zahlen von 4 bis 24). Zugegeben, dieser Fall tritt bei Rollenspielen eher selten auf. Eine Multiplikation kommt gelegentlich vor um die Werte deutlich (drastisch) zu erhöhen, wird zugunsten der kopfrechenschwachen Spieler aber oft vermieden.

Einen anderen interessanten Effekt erzielt man durch die Kombination unteschiedlicher Würfel. Die Gaußkurve wird dabei oben abgeflacht, bzw. gestreckt. Ein deutlich größerer Bereich an Würfelergenissen erhält damit eine gleichgroße Wahrscheinlichkeit. Die Folgende Grafik zeigt dies am Beispiel eines W4 dessen Ergebnis mit dem Ergebnis von W4, W6, W8, W10, W12 und W20 ergänzt wurde.

© Michael Jaegers / Jaegers.Net
© Michael Jaegers / Jaegers.Net

Im nächsten Teil betrachten wir einige gängige Rollenspielsysteme und ihr Umgang mit der Wahrscheinlichkeit.

Hinweis:

Natürlich handelt es sich bei den Grafiken auf dieser Seite um in dem Sinne falsche Darstellungen, als dass die Zahl der Würfel diskret (ganzzahlig) ist. Kurven zu verwenden ist daher mathematisch gesehen nicht zulässig (es gibt keine 3,5 Würfel) und Säulendiagramme wären die korrekte Wahl. Allerdings ist das menschliche Auge Linien wohl mehr zugetan als Säulen, weswegen ich diese Form der Darstellung gewählt habe.

1 Gedanke zu “Mathematik für Rollenspieler”

  1. Sehr interessanter und informativer Artikel. Mit den ganzen tollen Grafiken kann man echt schnell die Würfel-Wahrscheinlichkeiten herausfinden. Finde ich klasse.

    Viele Grüße

    Dustin

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