Binomische Formeln

Nachdem in den ersten Beiträgen meiner mathematischen Reihe die Grundlagen geschaffen wurden, kann ich mich nun dreier berühmt und berüchtigten Formeln zuwenden. Jeder Schüler wird sie einmal lernen und besser nie wieder vergessen müssen. Erste Binomische Formel Beweis/Herleitung: Die erste binomische Formeln lässt sich wie folgt herleiten: | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Zweite binomische Formel Die zweite binomische Formel unterscheidet sich nur durch ein Minuszeichen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen. Tückisch und damit eine Falle ist die Tatsache, dass nicht alle Vorzeichen umgekehrt werden. Beweis/Herleitung: Die zweite binomische Formel lässt sich wie folgt herleiten: | Vorzeichen bereinigen | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Dritte binomische Formel Die dritte binomische Formel scheint zunächst überhaupt nicht zu den ersten beiden zu passen, doch […]

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Assoziativgesetz

In der dritten Folge meiner Auflistung der mathematischen Gesetze kommt nun das dritte Geschwisterkind nach Assoziativ- und Kommutativgesetz zum Tragen. Das Assoziativgesetz beschreibt wie das Distributivgesetz ein Verfahren zum Umgang mit Termen mit Klammern. Die Grundaussage dieses Gesetzes besagt dabei, dass bei der Auswertung einer Summe mit mehreren Summanden ist die Auswertungsreihenfolge frei wählbar: bzw. bei einem Produkt mit mehreren Operanden Es spielt also keine Rolle, ob zunächst die Werte a und b miteinander verrechnet werden und danach erst c hinzu genommen wird, oder ob nach der Berechnung von b und c erst der Wert a hinzugeführt wird. Wichtig ist für dieses Gesetzt, dass alle beteiligten Rechenoperationen identisch sind und es sich dabei nur um Additionen, bzw. Multiplikationen handelt. Hierzu ein […]

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Distributivgesetz

In meiner kleinen Reihe über die Grundlegenden Elemente der Mathematik befasse ich mich nun mit dem Bruder des Kommutativgesetz aus dem letzten Beitrag: dem Distributivgesetz. Verteilungsgesetz Das Distributivgesetz (deutsch: Verteilungsgesetz) ist das dritte mathematische “Grundgesetz” neben dem Assoziativ- und Kommutativgesetz und legt das Vorgehen des “Ausklammerns” und “Ausmultiplizierens” fest und lautet wie folgt: Unter Anwendung des Kommutativgesetzes gilt dann auch Das Distributivgesetz ist aber nicht auf eine Summe zweier Summanden beschränkt. So gilt z.B. auch Hilfreich ist hier die Party-Erklärung als Gedächtnisstütze: Anna (a) kommt zu einer Party und trifft dort Bert (b) und Charlie (c), die schon anwesend sind. Nun hat Anna (a) zwei Möglichkeiten die beiden anderen zu Begrüßen. Welchen Weg sie auch wählt, am Ende ist jeder […]

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Zonk – oder das drei Türen Problem

Die Lektion aus einer Fernsehshow der 90er: Warum Wechseln besser ist Die Aufgabe Vor dem Kandidaten sind drei Tore (oder drei Pakete oder drei Umschläge oder…) und nur hinter einem Tor befindet sich der Hauptgewinn. Nachdem der Kandidat sich für ein Tor entschieden hat, teilt ihm der Moderator, hinter welchem der beiden verbliebenen Tore der Hauptgewinn auf jeden Fall nicht ist. Nun kann der Kandidat sich noch einmal für eines der Tore entscheiden. Was macht er nun? Am Besten auf das vom Moderator nicht genannte Tor umsteigen – Paradox? Die Lösung Zunächst einmal ist die Gewinnwahrscheinlichkeit (also 33%), da drei Tore vorhanden sind und nur hinter einem der Gewinn steckt. Nachdem der Moderator jedoch eines der drei Tore als Niete […]

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Kommutativgesetz

War ich in der Schule und im Studium den Noten nach bestenfalls ein durchschnittlich mathematisch begabter Mensch, hat die Mathematik ihren Reiz auf mich bis heute nicht verloren. Immer wieder aufs Neue genieße ich die Augenblicke, in denen es einfach nur Klick macht und sich ein Portal in eine scheinbar andere Welt öffnet. In ein paar kleineren Beiträgen versuche ich ein paar Aspekte der Mathematik einfach noch einmal aufzuarbeiten, besonders jene, bei denen meine gelegentlichen Nachhilfeschüler gerne immer wieder ins Straucheln, oder auch ich eine Denkpause benötigte geraten. Vertauschungsgesetz Das Kommutativgesetz (deutsch: Vertauschungsgesetz) besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist und lautet wie folgt: bzw. Die Anwendung dieses Gesetzes geht einem nach einiger Zeit in Fleisch […]

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