Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Zonk – oder das drei Türen Problem

Lesezeit etwa 4 Minuten

Die Lektion aus einer Fernsehshow der 90er: Warum Wechseln besser ist

Die Aufgabe

Vor dem Kandidaten sind drei Tore (oder drei Pakete oder drei Umschläge oder…) und nur hinter einem Tor befindet sich der Hauptgewinn. Nachdem der Kandidat sich für ein Tor entschieden hat, teilt ihm der Moderator, hinter welchem der beiden verbliebenen Tore der Hauptgewinn auf jeden Fall nicht ist. Nun kann der Kandidat sich noch einmal für eines der Tore entscheiden. Was macht er nun? Am Besten auf das vom Moderator nicht genannte Tor umsteigen – Paradox?

Die Lösung

Zunächst einmal ist die Gewinnwahrscheinlichkeit \frac{1}{3} (also 33%), da drei Tore vorhanden sind und nur hinter einem der Gewinn steckt.

Nachdem der Moderator jedoch eines der drei Tore als Niete entlarvt hat, bleiben noch zwei Tore und damit eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50% übrig und damit wäre es gleich, ob man bei seinem zunächst gewählten Tor bliebe, oder wechselt.

Dem ist jedoch nicht so, denn die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist bei einem Wechsel deutlich höher.

Nennen wir die drei Tore A, B und C. Der Kandidat entscheidet sich ohne Beschränkung der Allgemeinheit für das Tor A. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn hinter dem gewählten Tor A liegt mit 33% gegeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn dort nicht liegt, also hinter B oder C zu finden ist, liegt bei 67%. Blickt man nun nur auf die beiden Tore B und C, so verteilen sich die 67% dort je zu 50% (also 33% und 33%).

Der Moderator eliminiert nun eines der beiden Tore B und C. Auch hier wieder ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei es das Tor C. Die Gewinnwahrscheinlichkeit hat sich dadurch aber nicht verändert, es sind immer noch 67% für die Tore B und C zusammen. Nun wieder der exklusive Blick auf die beiden Tore B und C: Die Gewinnwahrscheinlichkeit verteilt sich damit wie folgt: für das Tor C 0% (es wurde ja ausgeschlossen) und 100% für das Tor B. Damit erhält das Tor B von den 67% Gesamtwahrscheinlichkeit für Tor B und C zusammen 100%, also 67%.

Verständlicher wird es wahrscheinlich, wenn man sich Tor B und C als eine Einheit sieht. Damit entscheidet sich der Kandidat zwischen Tor A und “Nicht Tor A”. “Nicht Tor A” beinhaltet zwei Tore und hat damit eine doppelt so hohe Wahrscheinlichkeit wie A. Daran ändert sich auch nichts, nachdem verraten wird, dass der Kandidat, wenn er sich nun für “Nicht Tor A” entscheidet, dann in jedem Fall Tor B aus dem Konglomerat “Nicht Tor A” wählen soll.

Der Kandidat ist also nun gut beraten von Tor A auf B zu wechseln, da er damit seine Gewinnwahrscheinlichkeit verdoppelt. Der Gewinn kann aber dennoch (33%) hinter Tor A liegen, doch in 2 von 3 Fällen liegt er nach einem Wechsel richtig.

Inhaltsverzeichnis

2 Gedanken zu “Zonk – oder das drei Türen Problem”

  1. Das stimmt so nicht. Die Wahrscheinlichkeit ist ungleich weniger als 50% nach dem man sich für ein anderes Tor entschieden hat. Mit der Entscheidung Tor C nicht zu nehmen sinkt die Wahrscheinlichkeit ingesamt. Reden wir von Glas halb voll oder halb leer ?

    • Und es stimmt – so paradox es erscheinen mag – doch :-)

      Ich habe die Lösung noch einmal im Rahmen eines Wahrscheinlichkeitsdiagramms (Tabelle), das alle Möglichkeiten durchspielt, aufgearbeitet. Das macht die Lösung vielleicht etwas deutlicher.

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