Assoziativgesetz

In der dritten Folge meiner Auflistung der mathematischen Gesetze kommt nun das dritte Geschwisterkind nach Assoziativ- und Kommutativgesetz zum Tragen.

Das Assoziativgesetz beschreibt wie das Distributivgesetz ein Verfahren zum Umgang mit Termen mit Klammern. Die Grundaussage dieses Gesetzes besagt dabei, dass bei der Auswertung einer Summe mit mehreren Summanden ist die Auswertungsreihenfolge frei wählbar:

(a+b)+c = a+(b+c)

bzw. bei einem Produkt mit mehreren Operanden

(ab)c = a(bc)

Es spielt also keine Rolle, ob zunächst die Werte a und b miteinander verrechnet werden und danach erst c hinzu genommen wird, oder ob nach der Berechnung von b und c erst der Wert a hinzugeführt wird.

Wichtig ist für dieses Gesetzt, dass alle beteiligten Rechenoperationen identisch sind und es sich dabei nur um Additionen, bzw. Multiplikationen handelt.

Hierzu ein Beispiel:

(24+17)+3

Die Addition von 24 und 17 ist mäßig kompliziert. Die Klammerung zudem überflüssig, daher kann die Klammer gemäß des Assoziativgesetzes auch anders angebracht werden:

24+(17+3) = 24+20 = 48

Dass Assoziativgesetz ist ähnlich wie das Kommutativgesetz eine wichtige Rechenregel zur Vereinfachung von Rechnungen oder Termen.

Ableitungen

Da sich jede “Strichrechnung” als Addition schreiben lässt, ergibt sich ferner:

  • (a-b)+c = (a+(-b))+c = a+((-b)+c) [= a-(b-c)]
  • (a+b)-c = (a+b)+(-c) = a+(b+(-c)) = a+(b-c)
  • (a-b)-c = (a+(-b))-c = (a+(-b))+(-c) = a+((-b)+(-c)) = a+(-b-c) [= a-(b+c)]

Entsprechendes gilt auch für die “Punktrechnung”, die immer auch als Multiplikation formuliert werden kann:

  • (a:b)\cdot c = (a\cdot\frac{1}{b})\cdot c = a\cdot (\frac{1}{b}\cdot c) [= a\cdot(c:b)]
  • (a\cdot b):c = (a\cdot b)\cdot\frac{1}{c} = a\cdot(b\cdot\frac{1}{c}) = a\cdot(b:c)
  • (a:b):c = (a\cdot\frac{1}{b})\cdot\frac{1}{c} = a\cdot(\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}) [=a\cdot\frac{1}{b\cdot c})]

Somit ist unter Zurhilfenahme der Umrechnung das Assoziativgesetz allgemein anwendbar.

Vorsicht Falle

Das Assoziativgesetz ist in der einfachen Form nur für Addition, bzw. Multiplikation gegeben. Die folgenden Umformungen sind schnell getätigt, aber falsch:

(a-b)-c = a-(b-c)

mit Zahlen wird es deutlicher:

(10-5)-2 = 3, aber 10-(5-2) = 7

Richtig angewandt lautet die Gleichung

(a-b)-c = a+(-b-c), bzw. mit unseren Zahlen dann 10+(-5-2) = 10+(-7) = 10-7 = 3

Ebenso für die Division:

(a:b):c = a:(b:c)

auch hier noch einmal mit Zahlen:

(24:4):2 = 3, aber 24:(4:2) = 12

Richtig lautet die Gleichung

(a:b):c = a\cdot(\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}), bzw. mit den Zahlen 24*(1/4*1/2) = 24*(1/8) = 24:8 = 3

Beispiele für das Assoziativgesetz

  • (8+3x)+2x = 8+(3x+2x) = 8+5x (Assoziativgesetz angewandt zur Vereinfachung eines Terms)
  • 12 = 4\cdot3 = (2\cdot2)\cdot3 = 2\cdot(2\cdot3) = 2\cdot6 = 12 (Assoziativgesetz angewandt zur vereinfachung einer Rechnung)
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