Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Binomische Formeln

Nachdem in den ersten Beiträgen meiner mathematischen Reihe die Grundlagen geschaffen wurden, kann ich mich nun dreier berühmt und berüchtigten Formeln zuwenden. Jeder Schüler wird sie einmal lernen und besser nie wieder vergessen müssen.

Erste Binomische Formel

a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2

Beweis/Herleitung: Die erste binomische Formeln lässt sich wie folgt herleiten:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b)
= aa+ab+ba+bb | Anwendung des Kommutativgesetzes
= a^2+ab+ab+b^2
= a^2+2ab+b^2

q.e.d.

Zweite binomische Formel

Die zweite binomische Formel unterscheidet sich nur durch ein Minuszeichen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen. Tückisch und damit eine Falle ist die Tatsache, dass nicht alle Vorzeichen umgekehrt werden.

a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2

Beweis/Herleitung: Die zweite binomische Formel lässt sich wie folgt herleiten:

(a-b)^2 = (a-b)(a-b)
= aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) | Vorzeichen bereinigen
= aa-ab-ba+bb | Anwendung des Kommutativgesetzes
= a^2-ab-ab+b^2
= a^2-2ab+b^2

q.e.d.

Dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel scheint zunächst überhaupt nicht zu den ersten beiden zu passen, doch hält man sich vor Augen, dass (a+b)^2 = (a+b)(a+b) und (a-b)^2 = (a-b)(a-b) ist, dann sieht man, dass die rechten Seiten alle Kombinationsmöglichkeiten abbilden.

a^2-b^2 = (a-b)(a+b)

Beweis/Herleitung: Die dritte binomische Formel lässt sich wie folgt herleiten:

(a-b)(a+b) = aa+ab+(-b)a+(-b)b | Vorzeichen bereinigen
= aa+ab-ba-bb | Anwendung des Kommutativgesetzes
= a^2+ab-ab-b^2
= a^2-b^2

q.e.d.

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