Distributivgesetz

In meiner kleinen Reihe über die Grundlegenden Elemente der Mathematik befasse ich mich nun mit dem Bruder des Kommutativgesetz aus dem letzten Beitrag: dem Distributivgesetz.

Verteilungsgesetz

Das Distributivgesetz (deutsch: Verteilungsgesetz) ist das dritte mathematische “Grundgesetz” neben dem Assoziativ- und Kommutativgesetz und legt das Vorgehen des “Ausklammerns” und “Ausmultiplizierens” fest und lautet wie folgt:

a(b+c) = ab+ac

Unter Anwendung des Kommutativgesetzes gilt dann auch

a(b+c) = (b+c)a

Das Distributivgesetz ist aber nicht auf eine Summe zweier Summanden beschränkt. So gilt z.B. auch

a(b+c+d+e+f) = ab+ac+ad+ae+af

Hilfreich ist hier die Party-Erklärung als Gedächtnisstütze: Anna (a) kommt zu einer Party und trifft dort Bert (b) und Charlie (c), die schon anwesend sind. Nun hat Anna (a) zwei Möglichkeiten die beiden anderen zu Begrüßen. Welchen Weg sie auch wählt, am Ende ist jeder begrüßt worden:

Variante 1: Anna (a) sagt:”Hi, ihr zwei!” Dies entspricht a\cdot(b+c)

Variante 2: Anna (a) begrüßt Bert (b) und anschließend begrüßt Anna (a) Charlie (c). Dies entspricht a\cdot b+a\cdot c

Das Pluszeichen steht dabei für “und”, das Malzeichen für “grüßt”. a\cdot (b+c) kann also gelesen werden wie a grüßt b und c zusammen. (Zusammen, weil b und c in einer Klammer eingefasst sind…)

Ableitungen

Da sich bekanntlich jede “Strichrechnung” in eine Summe umwandeln lässt, kann man entsprechend auch folgendes ableiten:

a(b-c) = a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab+(-ac) = ab-ac

Unter Anwendung des Kommutativgesetzes gilt natürlich auch

a(b+c) = (b+c)a, bzw. a(b-c) = (b-c)a

In der Erweiterung des Distributivgesetzes kann man auch die Multiplikation zweier Summen vereinfachen:

(k+l)(b+c)

Die erste Summe (k+l) wird dabei hilfsweise im ganzen durch ein a ersetzt, also a=(k+l). Dann gilt

(k+l)(b+c) = a(b+c) = ab+ac

Nun muss allerdings im Ergebnis das a an jeder Stelle wieder in (k+l) zurückverwandelt werden.

ab+ac = (k+l)b + (k+l)c

Damit stehen im Ergebnis nun zwei weitere Ausgangspunkte für das Distributivgesetz. Löst man diese Klammern also auch auf erhält man:

(k+l)b + (k+l)c = kb+lb + kc+lc

Auch hier hilft die Party Regel weiter: Die Kurzform lautet: “Jeder begrüßt jeden!”

Klaus (k) und Louise (l) kommen zusammen zu einer Party bei der Bert (b) und Charlie (c) schon sind. Nun begrüßt Klaus (k) sowohl Bert (b) wie auch Charlie (c) und Louise (l) begrüßt ebenso Bert (b) und Charlie (c).

Drei Spezialformen dieser Rechnung findet man auch bei den Binomischen Formeln wieder.

Vorsicht Falle

Aber das Distributivgesetz wird auch gerne an Stellen angewandt, die ähnlich aussehen, aber nicht dem Distributivgesetz unterliegen. Die folgenden Fälle sind alle falsch:

  • a:(b+c) = a:b+a:c
  • a+(b\cdot c) = a+b\cdot a+c
  • a-(b\cdot c) = a-b\cdot a-c

Das Distributivgesetz gilt nur, wenn außerhalb der Klammer eine Multiplikation und innerhalb der Klammer eine “Strichrechnung” vorliegt!

Beispiele für das Distributivgesetz

  • 7(3x+2y) = 21x+14y
  • 3(1+2x+3x^2+4x^3) = 3+6x+9x^2+12x^3
  • 2x+14y+5 = 2(x+7y)+5
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