Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Kommutativgesetz

War ich in der Schule und im Studium den Noten nach bestenfalls ein durchschnittlich mathematisch begabter Mensch, hat die Mathematik ihren Reiz auf mich bis heute nicht verloren. Immer wieder aufs Neue genieße ich die Augenblicke, in denen es einfach nur Klick macht und sich ein Portal in eine scheinbar andere Welt öffnet. In ein paar kleineren Beiträgen versuche ich ein paar Aspekte der Mathematik einfach noch einmal aufzuarbeiten, besonders jene, bei denen meine gelegentlichen Nachhilfeschüler gerne immer wieder ins Straucheln, oder auch ich eine Denkpause benötigte geraten.

Vertauschungsgesetz

Das Kommutativgesetz (deutsch: Vertauschungsgesetz) besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist und lautet wie folgt:

a+b = b+a

bzw.

a\cdot b = b\cdot a

Die Anwendung dieses Gesetzes geht einem nach einiger Zeit in Fleisch und Blut über und scheint so simpel, dass man gleich wieder vergisst, dass es sich um ein “Gesetz” handelt.

Der praktische Nutzen zeigt sich in der Regel bei der Lösung größerer Gleichungen oder reinen Berechnungen, da durch das Vertauschen von Teiltermen eine Vereinfachung möglich ist. Hierzu ein Beispiel:

17+24+3

Auf den ersten Blick sieht dies nach mittelschwerer Kopfrechenarbeit aus. Betrachtet man die Zahlen jedoch genauer, so stellt man fest, dass die Zahlen 17 und 3 einfacher zu addieren sind. Ergo vertauscht man die Reihenfolge der Zahlen, so dass sich Folgendes ergibt:

17+3+24 = 20+24 = 48

Dass man die Zahlen in ihrer Reihenfolge beliebig vertauschen darf, ist durch das Kommutativgesetz geregelt.

Ableitungen

Das Kommutativgesetz ist zunächst nur für Summen und Produkte gegeben. Betrachtet man allerdings, dass jede “Strichrechnung”, also auch die Differenz als Summe geschrieben werden kann, so lässt sich daraus folgern:

a-b = a+(-b) = (-b)+a = -b+a

Ähnliches gilt für die Division. Auch hier gilt, dass jede “Punktrechnung” als Multiplikation formuliert werden kann. Damit folgt:

a:b = a\cdot (1:b) = (1:b)\cdot a

bzw. in Bruchschreibweise:

\frac{a}{b} = a\cdot\frac{1}{b} = \frac{1}{b}\cdot a

Beispiele für das Kommutativgesetz

  • 7+21x = 21x+7 (einfache Vertauschung der Summanden)
  • 12+16x-28 = 16x+12-28 = 16x-16 (Vertauschung von Summanden zur Vereinfachung, bzw. Zusammenfassung eines Terms)

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