Mathematik

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Formeln für das Rechnen mit Wurzeln

Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln

Für das Rechnen mit Wurzeln (Radizieren) gibt es die nachfolgenden Regeln und Formeln:

Die Wurzel ist eine vereinfachte Schreibweise des gebrochenen Exponenten:

Die n-te Wurzel aus a ist definiert als a^\frac{1}{n}.

Allgemeiner gilt dann:

a^\frac{m}{n} entspricht der n-ten Wurzel aus a^m.

Da die Darstellung des Wurzelzeichens im Web nicht so einfach möglich ist, wird häufig auch die Abkürzung sqrt oder SQRT für die Quadratwurzel (aus dem Englischen square root) verwendet. sqrt(4) ist dabei nichts anderes wie \sqrt[2]{4}, also Wurzel aus 4.

Die Wurzel stellt damit auch die Umkehrfunktion des Potenzierens dar. \sqrt[2]{a^2}=a. (Die Quadratwurzel von a Quadrat ist gleich a.)

Spezialfall 0-te Wurzel

Die 0-te Wurzel ist icht definiert, da a^\frac{1}{0}, bzw. \frac{1}{0} nicht definiert ist. Stößt man also auf eine Rechnung, bei der die 0-te Wurzel zu ziehen ist, hat man einen Widerspruch gefunden, oder ist auf einen Rechenfehler gestoßen.

Quadratwurzel

Die Quadratwurzel ist eine der häufigsten Formen der Wurzel: \sqrt[2]{a} = \sqrt{a} = a^\frac{1}{2}. Die kleine 2 über der Wurzel, die den Grad der Wurzel angibt, wird daher auch bei der Quadratwurzel weggelassen.

Multiplikation/Division

Die Multiplikation von zwei Wurzeln gestaltet sich wie folgt:

\sqrt{a}\sqrt{b} = a^\frac{1}{2}b^\frac{1}{2} = (ab)^\frac{1}{2} = \sqrt{ab}

bzw. allgemein für den Grad n

a^\frac{1}{n}b^\frac{1}{n} = (ab)^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{ab}

Entsprechend gilt für die Division:

\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = (\frac{a}{b})^\frac{1}{n}

und damit natürlich auch für die Quadratwurzel

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Rechnen mit Wurzeln unterschiedlicher Grade

Für das Rechnen mit Wurzeln unterschiedlicher Grade zieht man die Potenzregeln zu Rate und Wandelt die Wurzel in die Exponentenschreibweise um.

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