Potenzregeln und Formeln

Zugegeben, in meiner mathematischen Formelsammlung mache ich nun einen recht großen Sprung. Doch bereits bei den binomischen Formeln wurde mit Exponenten gerechnet, so dass ein näherer Blick auf die Potenzregeln und Potenzgesetze erlaubt sein darf.

Allgemeines zu den Potenzregeln

Die Regeln und Gesetze für das Rechnen mit Exponenten (Potenzen) sind wie folgt:

Ein mehrfaches Aufmultiplizieren eines Wertes/einer Formel kann vereinfacht durch die Exponentendarstellung geschrieben werden. Dabei gibt der Wert des Exponenten, also die “Hochzahl” die Zahl der Multiplikationen der Basis mit sich selbst an.

Wird der Wert a n-mal mit sich selbst multipliziert (z.B. n = 3, also a\cdot a\cdot a), so wird vereinfacht an (im Beispiel: a3) geschrieben. a wird dabei Basis und n Exponent genannt. Bei n=2 ist es also a\cdot a=a^2. Sprachlich bezeichnet man an mit “a hoch n.”

Dies ist nicht zu verwechseln mit der klassischen Multiplikation, also a³ ist nicht gleich 3a! 5³ ist 5\cdot5\cdot5 also 125, 3\cdot5 hingegen ist 15, also ein nicht unerheblicher Unterschied.

Die geschriebene Variante a² wird gerne auch statt “a hoch zwei” als “a Quadrat” gesprochen. Dies wird aus der geometrischen Fläche Quadrat abgeleitet, bei der die Kanten alle gleich lang sind und damit der Flächeninhalt des Quadrates mit der Kantenlänge a durch a\cdot a, also a² berechnet wird.

Die Potenzgesetze im Einzelnen

Spezialfall: Exponent ist 0

Ist der Exponent gleich Null (0), so ist der Wert der Potenz immer gleich 1.

a^0 = 1

Dies ist ein sinnvoll gesetzter Wert, der sich auch aus den nachfolgenden Rechenregeln (s.u.) herleiten lässt.

negativer Exponent

Bei negativen Exponenten wird mit dem Kehrwert der Basis gerechnet.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Multiplikation und Division

Werden zwei Potenzen mit gleicher Basis multipliziert (dividiert), so werden ihre Exponenten addiert (subtrahiert).

a^na^m = a^{n+m}

a^n:a^m = \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}

Der Beweis erfolgt dabei über vollständiger Induktion.

Werden zwei Potenzen mit gleichem Exponent multipliziert (dividiert), so werden die Basen miteinander multipliziert (durcheinander dividiert) und der Exponent beibehalten.

a^nb^n = (ab)^n

a^n:b^n = \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n

Man beachte dabei die Klammerung! Auch dies wird per vollständiger Induktion bewiesen.

mehrfache Exponenten

Wird eine Basis mit mehreren Exponenten potenziert, so entspricht dies einem Exponenten, der gleich dem Produkt der einzelnen Exponenten ist.

(a^n)^m = a^{nm}

gebrochene Exponenten

Stellt sich der Exponent als Bruch dar (z.B. a^\frac{n}{m}), so handelt es sich bei a^\frac{1}{n} um die Umkehrfunktion von a^n, also:

(a^n)^\frac{1}{n} = a

Der Spezialfall, dass a^\frac{1}{n} gilt, wird auch n-te Wurzel genannt.

Allgemein leitet sich sich dies wie folgt her:

a^\frac{n}{m} = a^{n\cdot\frac{1}{m}} = (a^n)^\frac{1}{m} und natürlich auch = (a^\frac{1}{m})^n.

Herleitung der Potenzformeln

Spezialfall: Exponent ist 0

Vorausgesetzt wird, dass a <> 0 gilt.

a = a^1 | \cdot\frac{1}{a}

\Leftrightarrow a\cdot\frac{1}{a} = a^{1\cdot\frac{1}{a}} | negativer Exponent

\Leftrightarrow 1 = a^1a^{-1} | Multiplikation von Potenzen

\Leftrightarrow 1 = a^{(1-1)} | Vereinfachung

\Leftrightarrow 1 = a^0

q.e.d.

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