a-b-c-Formel – Jaegers.Net

Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:

$x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte…

Herleitung

Die a-b-c-Formel als allgemeiner Fall der P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden.

1. Fall a = 0

Damit vereinfacht sich die Ausgangsformel.

$ax^2+bx+c = 0 | a = 0$ einsetzen

$\Leftrightarrow bx+c = 0 | -c$

$\Leftrightarrow bx = -c$

Hier ist nun eine weitere Fallunterscheidung anzusetzen. Für b = 0 ergibt sich durch einsetzen mit $bx = 0x = 0 = -c$ das Ergebnis c = 0. Damit ist die Lösung der Gleichung unabhängig von der Wahl des x, also für jedes beliebige x in Verbindung mit c = 0 gültig.

Die Fallunterscheidung ist von Bedeutung, da anderfalls im nun folgenden 2. Fall b nicht mit $\frac{1}{b}$ (denn $\frac{1}{0}$ ist bekanntlich undefiniert) separiert werden kann.

Für den anderen Fall (c <> 0) kann die Gleichung ebenso gelöst werden und ergibt eine eindeutige Lösung.

$bx = -c | \cdot\frac{1}{b}$

$\Leftrightarrow x = -\frac{c}{b}$

Die Ergebnisse aus dem 1. Fall sind nur der Vollständigkeit halber aufgeführt, denn für a = 0 ist der Ausgangszustand der Formel, also eine quadratische Gleichung, strenggenommen nicht mehr gegeben. Die Gleichung entspricht nur noch einer klassischen linearen Gleichung.

2. Fall a <> 0

Auch hier sieht man nun, warum die Fallunterscheidung erforderlich ist, denn in den folgenden Umformungen setzen wir $\frac{1}{a}$ an, was nur dann zulässig ist, wenn a<>0 ist.