Mathematik

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a-b-c-Formel

Eine allgemeinere Form der PQ-Formel stellt die a-b-c-Formel dar. Bei dieser auch Mitternachtsformel genannten Form wird auf eine leicht geänderte Ausgangsform der quadratischen Gleichung zurückgegriffen.

Mitternachtsformel

Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:

x_{1/2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte…

Herleitung

Die a-b-c-Formel als allgemeiner Fall der P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden.

1. Fall a = 0

Damit vereinfacht sich die Ausgangsformel.

ax^2+bx+c = 0 | a = 0 einsetzen

\Leftrightarrow bx+c = 0 | -c

\Leftrightarrow bx = -c

Hier ist nun eine weitere Fallunterscheidung anzusetzen. Für b = 0 ergibt sich durch einsetzen mit bx = 0x = 0 = -c das Ergebnis c = 0. Damit ist die Lösung der Gleichung unabhängig von der Wahl des x, also für jedes beliebige x in Verbindung mit c = 0 gültig.

Die Fallunterscheidung ist von Bedeutung, da anderfalls im nun folgenden 2. Fall b nicht mit \frac{1}{b} (denn \frac{1}{0} ist bekanntlich undefiniert) separiert werden kann.

Für den anderen Fall (c <> 0) kann die Gleichung ebenso gelöst werden und ergibt eine eindeutige Lösung.

bx = -c | \cdot\frac{1}{b}

\Leftrightarrow x = -\frac{c}{b}

Die Ergebnisse aus dem 1. Fall sind nur der Vollständigkeit halber aufgeführt, denn für a = 0 ist der Ausgangszustand der Formel, also eine quadratische Gleichung, strenggenommen nicht mehr gegeben. Die Gleichung entspricht nur noch einer klassischen linearen Gleichung.

2. Fall a <> 0

Auch hier sieht man nun, warum die Fallunterscheidung erforderlich ist, denn in den folgenden Umformungen setzen wir \frac{1}{a} an, was nur dann zulässig ist, wenn a<>0 ist.

ax^2+bx+c = 0 | a ausklamern

\Leftrightarrow a(x^2+(\frac{b}{a})x+\frac{c}{a}) = 0 | \cdot\frac{1}{a} für a<>0

\Leftrightarrow x^2+(\frac{b}{a})x+\frac{c}{a} = 0

Mit p = \frac{b}{a} und q = \frac{c}{a} hat man die Ausgangsform der P-Q-Formel: x^2+px+q = 0.

Der Beweis der P-Q-Formel ist bereits erbracht, so dass die Formel hier eingesetzt werden kann.

x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} | p und q einsetzen

= \frac{-\frac{b}{a}}{2}\pm\sqrt{(\frac{\frac{b}{a}}{2})^2-\frac{c}{a}} | Vereinfachen, insbesondere die Doppelbrüche entfernen

= -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}} | Erweitern um den Bruch gleichnamig machen zu können

= -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{(\frac{b}{(2a)^2}-\frac{4ac}{4aa}} | Vereinfachen

= -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}} | Anwendung des Distributivgesetzes

= -\frac{b}{2a}\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} | Anwendung der Wurzelregeln

= -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{\sqrt{4a^2}} | vereinfachen

= -\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} | weiter vereinfachen

= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

q.e.d.

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