Eine allgemeinere Form der PQ-Formel stellt die a-b-c-Formel dar. Bei dieser auch Mitternachtsformel genannten Form wird auf eine leicht geänderte Ausgangsform der quadratischen Gleichung zurückgegriffen.
Mitternachtsformel
Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:
Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte…
Herleitung
Die a-b-c-Formel als allgemeiner Fall der P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden.
1. Fall a = 0
Damit vereinfacht sich die Ausgangsformel.
einsetzen
Hier ist nun eine weitere Fallunterscheidung anzusetzen. Für b = 0 ergibt sich durch einsetzen mit das Ergebnis c = 0. Damit ist die Lösung der Gleichung unabhängig von der Wahl des x, also für jedes beliebige x in Verbindung mit c = 0 gültig.
Die Fallunterscheidung ist von Bedeutung, da anderfalls im nun folgenden 2. Fall b nicht mit (denn
ist bekanntlich undefiniert) separiert werden kann.
Für den anderen Fall (c <> 0) kann die Gleichung ebenso gelöst werden und ergibt eine eindeutige Lösung.
Die Ergebnisse aus dem 1. Fall sind nur der Vollständigkeit halber aufgeführt, denn für a = 0 ist der Ausgangszustand der Formel, also eine quadratische Gleichung, strenggenommen nicht mehr gegeben. Die Gleichung entspricht nur noch einer klassischen linearen Gleichung.
2. Fall a <> 0
Auch hier sieht man nun, warum die Fallunterscheidung erforderlich ist, denn in den folgenden Umformungen setzen wir an, was nur dann zulässig ist, wenn a<>0 ist.
| a ausklamern
für a<>0
Mit und
hat man die Ausgangsform der P-Q-Formel:
.
Der Beweis der P-Q-Formel ist bereits erbracht, so dass die Formel hier eingesetzt werden kann.
| p und q einsetzen
| Vereinfachen, insbesondere die Doppelbrüche entfernen
| Erweitern um den Bruch gleichnamig machen zu können
| Vereinfachen
| Anwendung des Distributivgesetzes
| Anwendung der Wurzelregeln
| vereinfachen
| weiter vereinfachen
q.e.d.