Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Klassische Rechenfehler in der Mathematik

Bild via Amazon (Link zum Angebot) Unter dieser passenden Überschrift (“Dont drink and derive”, übersetzt bedeutet diese in etwa “Nicht alkoholisiert rechnen”) werden T-Shirts mit einer interessanten Rechnung angeboten. Die Rechnung darauf soll beweisen, dass 2=1 ist. Die Rechnung ist verkürzt dargestellt, mit etwas mehr Zwischenschritten sei sie hier einmal zur Fehlersuche aufgeführt: Wie kann dies sein? Die Rechenschritte scheinen sind doch alle soweit korrekt ausgeführt worden. Die Lösung Der Kniff liegt hier in der Anfangsgleichung a=b. Daraus folgt, dass a-b=0 ist … weiterlesen…

Adventskranz

Bild: © Melly95 / Pixabay (modifiziert)

Das Adventskranzproblem

Alle Jahre wieder… Nach dem vierten Advent stehen christliche Familien oft vor demselben Problem: Auf dem Adventskranz stehen vier Kerzenstümpfe unterschiedlicher Größe. Die Industrie bietet zu diesem Zweck bereits Kerzen unterschiedlicher Größe an, so dass – wenn man mit der größten Kerze beginnt – am Ende alle Kerzen gleich lang sind. Andere versuchen mit dem Abbrennen der Kerzen so zu jonglieren, dass alle Kerzen in etwa gleich weit abbrennen. Wie brennen die Kerzen auf einem Adventskranz gleichmäßig ab? Bild via Amazon (Link … weiterlesen…

Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

a-b-c-Formel

Eine allgemeinere Form der PQ-Formel stellt die a-b-c-Formel dar. Bei dieser auch Mitternachtsformel genannten Form wird auf eine leicht geänderte Ausgangsform der quadratischen Gleichung zurückgegriffen. Mitternachtsformel Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte… … weiterlesen…

Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

PQ-Formel mit Herleitung

Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen. Die PQ-Formel Für eine quadratische Gleichung der Form ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel. Herleitung Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden: (quadratische Ergänzung) | Anwendung der ersten binomischen … weiterlesen…

Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Formeln für das Rechnen mit Wurzeln

Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln

Für das Rechnen mit Wurzeln (Radizieren) gibt es die nachfolgenden Regeln und Formeln:

Die Wurzel ist eine vereinfachte Schreibweise des gebrochenen Exponenten:

Die n-te Wurzel aus a ist definiert als a^\frac{1}{n}.

Allgemeiner gilt dann:

a^\frac{m}{n} entspricht der n-ten Wurzel aus a^m.

Da die Darstellung des Wurzelzeichens im Web nicht so einfach möglich ist, wird häufig auch die Abkürzung sqrt oder SQRT für die Quadratwurzel (aus dem Englischen square root) verwendet. sqrt(4) ist dabei nichts anderes wie \sqrt[2]{4}, also Wurzel aus 4.

Die Wurzel stellt damit auch die Umkehrfunktion des Potenzierens dar. \sqrt[2]{a^2}=a. (Die Quadratwurzel von a Quadrat ist gleich a.)

weiterlesen…Formeln für das Rechnen mit Wurzeln

Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Potenzregeln und Formeln

Zugegeben, in meiner mathematischen Formelsammlung mache ich nun einen recht großen Sprung. Doch bereits bei den binomischen Formeln wurde mit Exponenten gerechnet, so dass ein näherer Blick auf die Potenzregeln und Potenzgesetze erlaubt sein darf. Allgemeines zu den Potenzregeln Die Regeln und Gesetze für das Rechnen mit Exponenten (Potenzen) sind wie folgt: Ein mehrfaches Aufmultiplizieren eines Wertes/einer Formel kann vereinfacht durch die Exponentendarstellung geschrieben werden. Dabei gibt der Wert des Exponenten, also die “Hochzahl” die Zahl der Multiplikationen der Basis mit sich … weiterlesen…

Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Binomische Formeln

Nachdem in den ersten Beiträgen meiner mathematischen Reihe die Grundlagen geschaffen wurden, kann ich mich nun dreier berühmt und berüchtigten Formeln zuwenden. Jeder Schüler wird sie einmal lernen und besser nie wieder vergessen müssen. Erste Binomische Formel Beweis/Herleitung: Die erste binomische Formeln lässt sich wie folgt herleiten: | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Zweite binomische Formel Die zweite binomische Formel unterscheidet sich nur durch ein Minuszeichen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen. Tückisch und damit eine Falle ist die Tatsache, dass nicht alle Vorzeichen … weiterlesen…

Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Assoziativgesetz

In der dritten Folge meiner Auflistung der mathematischen Gesetze kommt nun das dritte Geschwisterkind nach Assoziativ- und Kommutativgesetz zum Tragen. Das Assoziativgesetz beschreibt wie das Distributivgesetz ein Verfahren zum Umgang mit Termen mit Klammern. Die Grundaussage dieses Gesetzes besagt dabei, dass bei der Auswertung einer Summe mit mehreren Summanden ist die Auswertungsreihenfolge frei wählbar: bzw. bei einem Produkt mit mehreren Operanden Es spielt also keine Rolle, ob zunächst die Werte a und b miteinander verrechnet werden und danach erst c hinzu genommen … weiterlesen…