Schlagwort: Mathematik

Mathematik für Rollenspieler

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Von Wahrscheinlichkeiten und Würfeln Würfelwissen Eines der wesentlichen Spielelemente bei den sogenannten Pen&Paper Rollenspielen ist neben eben jenen Stiften und Papieren der Würfel. Der, bzw. die Würfel sind dabei für den Zufallsmoment im Spiel verantwortlich und entscheiden über Erfolg oder Patzer einer Probe sowie Sieg und Niederlage in einem Kampf. Während man bei klassischen Brett- und Gesellschaftsspielen den schon zu Römerzeiten bekannten sechsseitigen Würfel (Alea) verwendet, kommen bei den Rollenspielen Würfel in ihren unterschiedlichsten Ausprägungen, insbesondere hinsichtlich ihrer Seitenzahl zum Einsatz. Mathematisch gesehen ist nur der sechsseitige, mit gleichlangen und rechtwinklig aufeinanderstehenden Kanten Kubus ein Würfel. Alle anderen Objekte sind eigentlich Polyeder. Doch umgangssprachlich bleiben die Spieler bei dem Begriff Würfel. Zur genaueren Bestimmung, welcher Würfel gemeint ist, wird die Zahl […]

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Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung

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Im mathematischen Teil meines Blogs habe ich schon eine Weile keine Beiträge verfasst. Doch das soll sich nun ändern, nachdem ich wieder eine Reihe an Diskussionen mit einem Nachhilfeschüler hatte. Das Thema heute betrifft die Parabeln, also die graphische Darstellung einer quadratischen Gleichung. Um diese nicht zeichnen zu müssen, bedient der eher faule, aber gescheite Mathematiker die Scheitelpunktform der Gleichung. Von der Normalform zur Scheitelpunktform Über die Scheitelpunktform Für die Schreibweise einer quadratischen Gleichung haben sich zwei Möglichkeiten etabliert. Zum einen handelt es sich hierbei um die Normalform oder aber die für grafische Darstellunge interessantere Scheitelpunktform. Der Vorteil der letzteren liegt darin, dass die Lage und Orientierung der zugehörigen Parabel sehr leicht abgelesen werden kann. Die Normalform einer quadratischen Gleichung […]

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Klassische Rechenfehler in der Mathematik

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Unter dieser passenden Überschrift (“Dont drink and derive”, übersetzt bedeutet diese in etwa “Nicht alkoholisiert rechnen”) werden T-Shirts mit einer interessanten Rechnung angeboten. Die Rechnung darauf soll beweisen, dass 2=1 ist. Die Rechnung ist verkürzt dargestellt, mit etwas mehr Zwischenschritten sei sie hier einmal zur Fehlersuche aufgeführt: Wie kann dies sein? Die Rechenschritte scheinen sind doch alle soweit korrekt ausgeführt worden. Die Lösung Der Kniff liegt hier in der Anfangsgleichung a=b. Daraus folgt, dass a-b=0 ist und damit wird die der drittletzte Rechenschritt unzulässig, da hier durch (a-b), also 0 geteilt wird. Ganz deutlich wird dieser Fehler, wenn man in der Rechnung jedes b durch ein a ersetzt (schließlich ist ja b=a). Dann lautet die Rechnung wie folgt: […] was […]

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Das Adventskranzproblem

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Alle Jahre wieder… Nach dem vierten Advent stehen christliche Familien oft vor demselben Problem: Auf dem Adventskranz stehen vier Kerzenstümpfe unterschiedlicher Größe. Die Industrie bietet zu diesem Zweck bereits Kerzen unterschiedlicher Größe an, so dass – wenn man mit der größten Kerze beginnt – am Ende alle Kerzen gleich lang sind. Andere versuchen mit dem Abbrennen der Kerzen so zu jonglieren, dass alle Kerzen in etwa gleich weit abbrennen. Wie brennen die Kerzen auf einem Adventskranz gleichmäßig ab? Nun stellt sich die Frage, ob man dieses Problem auch mathematisch darstellen und lösen kann. Gibt es also die Möglichkeit für einen Adventskranz die Kerzen so anzuzünden (und die Tradition des Adventskranzes, also erst eine, dann zwei, dann drei und zum Schluss […]

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a-b-c-Formel

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Eine allgemeinere Form der PQ-Formel stellt die a-b-c-Formel dar. Bei dieser auch Mitternachtsformel genannten Form wird auf eine leicht geänderte Ausgangsform der quadratischen Gleichung zurückgegriffen. Mitternachtsformel Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte… Herleitung Die a-b-c-Formel als allgemeiner Fall der P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden. 1. Fall a = 0 Damit vereinfacht sich die Ausgangsformel. einsetzen Hier ist nun eine weitere Fallunterscheidung anzusetzen. Für […]

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PQ-Formel mit Herleitung

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Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen. Die PQ-Formel Für eine quadratische Gleichung der Form ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel. Herleitung Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden: (quadratische Ergänzung) | Anwendung der ersten binomischen Formel | Wurzel ziehen, dadurch nun Fallunterscheidung q.e.d. Beweis Die Korrektheit der P-Q-Formel kann wie folgt überprüft werden: Da es zwei Lösungsfälle gibt (x1 und x1) ist der Beweis im Rahmen einer Fallunterscheidung zu führen. 1. Fall x […]

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Formeln für das Rechnen mit Wurzeln

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Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln Für das Rechnen mit Wurzeln (Radizieren) gibt es die nachfolgenden Regeln und Formeln: Die Wurzel ist eine vereinfachte Schreibweise des gebrochenen Exponenten: Die n-te Wurzel aus a ist definiert als . Allgemeiner gilt dann: entspricht der n-ten Wurzel aus . Da die Darstellung des Wurzelzeichens im Web nicht so einfach möglich ist, wird häufig auch die Abkürzung sqrt oder SQRT für die Quadratwurzel (aus dem Englischen square root) verwendet. sqrt(4) ist dabei nichts anderes wie , also Wurzel aus 4. Die Wurzel stellt damit auch die Umkehrfunktion des Potenzierens dar. . (Die Quadratwurzel von a Quadrat ist gleich a.)

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Potenzregeln und Formeln

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Zugegeben, in meiner mathematischen Formelsammlung mache ich nun einen recht großen Sprung. Doch bereits bei den binomischen Formeln wurde mit Exponenten gerechnet, so dass ein näherer Blick auf die Potenzregeln und Potenzgesetze erlaubt sein darf. Allgemeines zu den Potenzregeln Die Regeln und Gesetze für das Rechnen mit Exponenten (Potenzen) sind wie folgt: Ein mehrfaches Aufmultiplizieren eines Wertes/einer Formel kann vereinfacht durch die Exponentendarstellung geschrieben werden. Dabei gibt der Wert des Exponenten, also die “Hochzahl” die Zahl der Multiplikationen der Basis mit sich selbst an. Wird der Wert a n-mal mit sich selbst multipliziert (z.B. n = 3, also ), so wird vereinfacht an (im Beispiel: a3) geschrieben. a wird dabei Basis und n Exponent genannt. Bei n=2 ist es also […]

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