Klassische Rechenfehler in der Mathematik

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Unter dieser passenden Überschrift (“Dont drink and derive”, übersetzt bedeutet diese in etwa “Nicht alkoholisiert rechnen”) werden T-Shirts mit einer interessanten Rechnung angeboten. Die Rechnung darauf soll beweisen, dass 2=1 ist. Die Rechnung ist verkürzt dargestellt, mit etwas mehr Zwischenschritten sei sie hier einmal zur Fehlersuche aufgeführt:

a = b\ | \cdot a
\Leftrightarrow aa = ba
\Leftrightarrow a^2 = ab\ | +a^2
\Leftrightarrow a^2+a^2 = ab + a^2
\Leftrightarrow 2a^2 = a^2 + ab\ | -2ab
\Leftrightarrow 2a^2 - 2ab = a^2 - ab
\Leftrightarrow 2aa - 2ab = aa -ab
\Leftrightarrow 2a(a-b) = a(a-b)\ | :(a-b)
\Leftrightarrow 2a = a\ | :a
\Leftrightarrow 2 = 1\ | -1
\Leftrightarrow 1 = 0

Wie kann dies sein? Die Rechenschritte scheinen sind doch alle soweit korrekt ausgeführt worden.

Die Lösung

Der Kniff liegt hier in der Anfangsgleichung a=b. Daraus folgt, dass a-b=0 ist und damit wird die der drittletzte Rechenschritt unzulässig, da hier durch (a-b), also 0 geteilt wird.

Ganz deutlich wird dieser Fehler, wenn man in der Rechnung jedes b durch ein a ersetzt (schließlich ist ja b=a). Dann lautet die Rechnung wie folgt:

a = b
\Leftrightarrow a = a\ | \cdot a
\Leftrightarrow aa = aa

[…]

\Leftrightarrow 2a(a-a) = a(a-a)\ | :(a-a)

was gleichbedeutend ist mit

\Leftrightarrow 2a\cdot0 = a\cdot0\ | :0

also

\Leftrightarrow 0 = 0\ | :0

Auf der linken Seite ist mit der Gleichung ist noch alles Bestens, nur anschließend erfolgende Division durch Null ist ungültig und macht durch ihre Ausführung letztlich alles möglich, aber nichts korrekt.

0:0 = 2

Doch vielleicht stimmt der oben getätigte Beweis ja doch, denn schließlich, so behauptet eine andere Rechnung, ist 0:0 = \frac{0}{0} = 2. Zunächst einmal der vermeintliche Beweis dieser Behauptung: \frac{0}{0}=\frac{100-100}{100-100}
=\frac{10\cdot10-10\cdot10}{10\cdot10-10\cdot10}
=\frac{10^2-10^2}{10\cdot (10-10)}
=\frac{(10+10)(10-10)}{10\cdot (10-10)}
=\frac{10+10}{10}
=\frac{20}{10}
=2

Die Lösung

Die ersten drei Rechenschritte sind recht einfach nachzuvollziehen. Der vierte Rechenschritt ist die Anwendung der dritten Binomischen Formel im Zähler des Bruchs. Bis zu diesem Zeitpunkt sind auch alle vorgenommenen Rechenschritte korrekt und gültig.

Im nun folgenden fünften Schritt steckt der Fehler. Was hier nach einfachem Kürzen aussieht (schließlich steht sowohl im Nenner wie auch im Zähler der gleiche Faktor), ist aber nicht zulässig, da es sich bei dem Faktor (10-10) um die verklausulierte Schreibweise der Null handelt.

Kürzen ist nichts anderes wie das Dividieren (Teilen) des Zählers mit einer Zahl (hier: 0) und Dividieren des Nenners mit dem Kehrwert eben dieser Zahl (hier also \frac{1}{0}). Somit wird bei diesem Beweis im Rahmen des Kürzens eine Division durch Null vorgenommen, was nicht zulässig ist und damit den ganzen Beweis ad absurdum führt.

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