Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung

Im mathematischen Teil meines Blogs habe ich schon eine Weile keine Beiträge verfasst. Doch das soll sich nun ändern, nachdem ich wieder eine Reihe an Diskussionen mit einem Nachhilfeschüler hatte. Das Thema heute betrifft die Parabeln, also die graphische Darstellung einer quadratischen Gleichung. Um diese nicht zeichnen zu müssen, bedient der eher faule, aber gescheite Mathematiker die Scheitelpunktform der Gleichung.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

Über die Scheitelpunktform

Für die Schreibweise einer quadratischen Gleichung haben sich zwei Möglichkeiten etabliert. Zum einen handelt es sich hierbei um die Normalform oder aber die für grafische Darstellunge interessantere Scheitelpunktform. Der Vorteil der letzteren liegt darin, dass die Lage und Orientierung der zugehörigen Parabel sehr leicht abgelesen werden kann.

Die Normalform einer quadratischen Gleichung sieht üblicherweise wie folgt aus:

f(x) = ax^2 + bx + c

Vielleicht erinnert man sich hier an die Ausgangslage für die Anwendung der p-q-Formel mit der die Nullstellen der Gleichung einfach ermittelt werden können: x^2 + px + q=0, bzw. die allgemeinere a-b-c-Formel.

Hat man eine solche Formel gegeben, so kann sie auch in die Scheitelpunktform

f(x) = s(x-r)^2 + o

transformiert werden.

Die gewählten Buchstaben a, b, c, s, r und o sind hierbei als Variablen, bzw. Platzhalter zu verstehen. Ich habe abweichend von diverser Literatur genau diese gewählt, da bezüglich a, b und c diese an die a-b-c-Formel erinnern sollen. s, r und o wiederum helfen bei dem Verständnis der Scheitelpunktform. Der Wert s steht nämlich für den Streckungsfaktor, r für die Rechtsverschiebung und o für die Verschiebung nach oben. Natürlich sind auch alle anderen Buchstaben denkbar und gültig.

Wie kann man nun die Scheitelpunktform lesen? Zunächst sollte man wissen, dass bei einer quadratischen Funktion die grafische Darstelung immer eine Parabelform ist. Stellt man sich nun eine Parabel in einem Koordinatensystem vor, so ist leicht nachzuvollziehen, dass diese bezogen auf den Ursprung (dem Nullpunkt) des Koordinatensystems verschoben sein kann: nach rechts oder links und nach oben oder unten. Ergänzend dazu kann die Parabel auch noch gestreckt oder gestaucht und nach oben oder unten geöffnet sein. Alle diese Eigenschaften der Parabel können an der Scheitelpunktform abgelesen werden. In meiner genutzten Notation besagen nun die Werte r und o um wie viel die Parabel nach rechts und oben verschoben ist. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt somit bei S(r|o).

Zu beachten ist dabei unbedingt, dass in der Scheitelpunktform vor dem Buchstaben r ein Minus stehen muss!

Ein Beispiel: f(x) = (x-3)^2 + 5

Der Scheitelpunkt liegt damit bei S(3|5). Die Parabel ist also um drei Einheiten nach rechts und fünf Einheiten nach oben verschoben.

Ein weiteres Beispiel: f(x) = (x+7)^2 - 2

In diesem Fall lautet der Scheitelpunkt S(-7|-2). Die zugehörige Parabel in der graphischen Darstellung ist also um 7 Einheiten nach links und zwei Einheiten nach unten verschoben.

Als nächstes betrachtet man den Streckungsfaktor s. Dieser beinhaltet zwei Informationen: Ist s<0, also negtiv, so ist die Parabel nach unten geöffnet, anonsten (s>0) nach oben geöffnet. (Sollte s=0 sein, so handelt es sich nicht um eine Parabel, sondern um eine deutlich weniger spannende horizontale Gerade f(x) = o.)

Gleichzeitig besagt der Absolutwert von s (also der Wert ohne Vorzeichen), wie stark die Parabel gestreckt (bei |s|>1) oder gestaucht (bei |s|<1) ist. Bei einer gestauchten Parabel sind die beiden “Arme” mehr zur Seite gestreckt, bei einer gestreckten Parabel sind die “Arme” dichter beieinander und zeigen mehr nach oben.

Ein Beispiel: f(x) = 2(x-3)^2 - 5

Scheitelpunkt S(3|-5), nach oben geöffnet und gestreckt mit dem Faktor 2. Damit ist die Parabel doppelt so “steil” wie eine Normalparabel.

Ein weiteres Beispiel: f(x) = -0,5(x+2)^2

Der Scheitelpunkt liegt nun bei S(-2|0), die Parabel ist nach unten geöffnet und mit dem Faktor 0,5 gestaucht und damit halb so “steil” wie eine Normalparabel.

Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform

Um eine in der Normalform vorliegende Funktion in die Scheitelpunktform umzuwandeln kann man die Formel f(x) = a(x - (-\frac{b}{2a}))^2 + c - \frac{b^2}{4a} verwenden. Zunächst jedoch die Herleitung auf dem Fußweg dazu, die auch verwendet werden kann, wenn man sich die Formel nicht merken will oder kann. Betrachtet man sich die Scheitelpunktform

f(x) = s(x-r)^2 + o

so entdeckt man in ihr die zweite binomische Formel: (x-r)^2 Diese wird für die Transformation von Bedeutung sein.

Gestartet wird mit der Normalform:

f(x) = ax^2 + bx + c

Der Wert für s kann direkt abgelesen und übernommen werden kann. Es handelt sich um den gleichen Wert wie a, also s=a. Damit lautet unser erstes Zwischenergebnis für die Scheitelpunktfor, bzw. nach Auflösung der Klammer mit der zweiten binomischen Formel

a(x-r)^2 + o

= ax^2 - 2arx + ar^2 + o.

Diesen Zwischenschritt vergleicht man nun mit der Ausgangsform, die umgewandelt werden soll.  Der erste Summand (ax²) sollte durch den ersten Schritt geich sein. Interessant ist nun der zweite Summand, also derjenige, der ein einfaches x enthält: px, bzw. -2arx. Diese beiden Summanden müssen, da Normal- und Scheitelpunktform ja gleich sein sollen, ebenfalls gleich sein, also

bx = -2arx

Diese Gleichung löst man nun nach r auf:

bx = -2arx | :x

\Leftrightarrow b = -2ar | :-2a

\Leftrightarrow -\frac{b}{2a} = r

Der Wert für die Rechtsverschiebung r lässt sich also einfach aus den Koeffizienten der Normalform berechnen. Damit ergibt sich ein neuer Zwischenschritt für die Scheitelpunktform:

f(x) = a(x - (-\frac{b}{2a}))^2 + o

Nun löst man diese Gleichung noch einmal mit der binomischen Formel auf und erhält

ax^2 + \frac{2abx}{2a} + \frac{ab^2}{4a^2} + o

= ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} + o

Die ersten beiden Summanden (ax^2 + bx) entsprechen nun genau den ersten beiden Summanden der Normalform (Ausgangsformel). Damit muss nur noch der dritte Summand (c) der Ausgangsformel berücksichtigt werden. Es gilt also

c = \frac{b^2}{4a} + o

und nach o aufgelöst:

c = \frac{b^2}{4a} + o | -\frac{b^2}{4a}

\Leftrightarrow o = c - \frac{b^2}{4a}

Letztlich lautet damit die Formel zur Umwandlung der Normalform in die Scheitelpunktform

f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - (-\frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Kurze Probe, bzw. einfacherer Beweis:

f(x) = a(x - (-\frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}

= a(x + \frac{b}{2a}^2 + c - \frac{b^2}{4a}

= a(x^2 + \frac{2bx}{2a} + \frac{b^2}{4a^2} + c - \frac{b^2}{4a}

= ax^2 + \frac{abx}{a} + \frac{ab^2}{4a^2} + c - \frac{b^2}{4a}

= ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{4a} + c

= ax^2 + bx +c

q.e.d

Vier bekannte Beispiele zur Scheitelpunktform und Normalform:

a) f(x) = x^2 - 6x + 14 | a=1, b=-6, c=14

= a(x - (-\frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}

= 1\cdot(x - \frac{6}{2\cdot1})^2 + 14 - \frac{6^2}{4\cdot1}

= (x - 3)^2 + 14 - \frac{36}{4}

= (x - 3)^2 + 5

b) f(x) = x^2 + 14x + 47 | a=1, b=14, c=47

= (x - (-\frac{14}{2}))^2 + 47 - \frac{14^2}{4}

= (x + 7)^2 + 47 - 49

= (x + 7)^2 - 2

c) f(x) = 2x^2 - 12x + 13 | a=2, b=-12, c=13

= 2(x - \frac{-12}{4})^2 + 13 - \frac{(-12)^2}{4\cdot2}

= 2(x - 12)^2 - 5

d) f(x) = -0,5x^2 - 2x - 2

=-0,5(x-\frac{2}{-1})^2-2+\frac{4}{2}

= -0,5(x + 2)^2

Umwandlung von der Scheitelpunktform in die Normalform

Die umgekehrte Richtung ist wesentlich einfacher und bedarf keiner gesonderten Formel. In diesem Fall muss die Scheitelpunktform lediglich (unter Anwendung der ersten oder zweiten binomischen Formel) korrekt ausmultipliziert und zusammengefasst werden.

Hierzu ziehe ich das letzte Beispiel noch einmal zur Erläuterung heran:

f(x) = -0,5(x + 2)^2 Anwendung der ersten binomischen Formel, Klammerung beibehalten!

=-0,5(x^2+4x+4) Klammer auflösen und dabei das Vorzeichen beachten!

=-0,5x^2-2x-2

Tool zur Umwandlung von Normalform in Scheitelpunktform

Scheitelpunktform Normalform
f(x)=(x - )2+

Vorzeichen beachten! Minus mal Minus ergibt Plus...
f(x)=x2+x+

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