Adventskranz

Bild: © Melly95 / Pixabay (modifiziert)

Das Adventskranzproblem

Alle Jahre wieder…

Nach dem vierten Advent stehen christliche Familien oft vor demselben Problem: Auf dem Adventskranz stehen vier Kerzenstümpfe unterschiedlicher Größe. Die Industrie bietet zu diesem Zweck bereits Kerzen unterschiedlicher Größe an, so dass – wenn man mit der größten Kerze beginnt – am Ende alle Kerzen gleich lang sind. Andere versuchen mit dem Abbrennen der Kerzen so zu jonglieren, dass alle Kerzen in etwa gleich weit abbrennen.

Wie brennen die Kerzen auf einem Adventskranz gleichmäßig ab?

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Nun stellt sich die Frage, ob man dieses Problem auch mathematisch darstellen und lösen kann. Gibt es also die Möglichkeit für einen Adventskranz die Kerzen so anzuzünden (und die Tradition des Adventskranzes, also erst eine, dann zwei, dann drei und zum Schluss alle Kerzen brennen zu haben nicht zu verletzen), dass am Ende alle Kerzen gleich weit heruntergebrannt sind? Falls dem nicht so ist, gibt es dann überhaupt einen um eine bestimmte Anzahl an Kerzen erweiterten Adventskranz, bei dem dies bei entsprechend erweiterter Zahl an Wochen möglich ist? Wir gehen dabei davon aus, dass die Kerzen in jeder Woche gleich lange brennen und natürlich auch entsprechend in gleichem Maße kürzer werden.

Erste Überlegungen

Bei einem reduzierten Adventskranz (3 Kerzen) taucht das Problem nicht auf, wie man leicht erkennen kann: In der ersten Woche brennt nur eine Kerze, so dass die drei Kerzen nun die Längen \frac{1}{2}, 1 und 1 haben. Zündet man in der zweiten Woche dann die beiden größten Kerzen an, so haben danach die Kerzen alle die Länge \frac{1}{2}. Damit ist vor und nach der dritten Woche in der alle drei Kerzen entzündet wurden die Länge eines jeden Kerzenstumpfes gleich. Hätte der Advent also nur drei Wochen, gäbe es das Problem nicht.

Mathematisch formulieren wir nun die Aufgabe wie folgt: Wir haben k Kerzen und entsprechend k Wochen in denen von eins beginnend immer eine Kerze mehr entzündet wird, bis in der Woche k (die letzte Woche) dann auch k Kerzen brennen. k ist dabei eine natürliche Zahl (k aus N).

Die Länge, die eine Kerze in einer entsprechenden Woche herunterbrennt wird vereinfacht als eine Abbrandeinheit bezeichnet. Um der Lösung nun näher zu kommen sind die Abbrandeinheiten interessant. Bei einer Kerze (und entsprechend einer Woche) benötigen wir nur eine Abbrandeinheit. Betrachten wir einen Zeitraum von zwei Wochen ergeben sich drei erforderliche Abbrandeinheiten: Eine in der ersten Woche und zwei in der zweiten Woche.

Dabei ist dann auch gleich ersichtlich, dass das Problem bei einer Kerze nicht besteht und bei zwei Kerzen nicht lösbar ist, denn zur Lösung müssen die Abbrandeinheiten gleich und ganzzahlig auf die Zahl der Kerzen aufgeteilt werden können. Bei drei Kerzen (und drei Wochen) benötigt man 1+2+3 = 6 Abbrandeinheiten. Das Problem ist (s.o.) bei einem Adventskranz mit drei Kerzen wieder lösbar.

Allgemein lässt sich die Zahl der erforderlichen Abbrandeinheiten a also aus der Zahl der Wochen (und Kerzen) k wie folgt bestimmen: Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis k (a=1+2+…+k). Hierzu kann man Dank des kleinen Gauss eine einfache Formel zu aufstellen: a=\frac{k(k+1)}{2}

Diese Formel erklärt sich übrigens recht einfach: Addiert man das größte Element (hier: k) und das kleinste Element (hier: 1) der Reihe, so erhält man eine Summe die gleich der Summe für das zweitgrößte (k-1) und zweitkleinste Element (2) ist, etc. Paarweise zusammengefügt ergeben die Zahlen also immer den gleichen Wert. Aus k Zahlen kann man \frac{k}{2} Paare bilden. Damit ist die Summe der einzelnen Zahlen k+1 (Summe der Paare) \cdot\frac{k}{2} (Anzahl der Paare).

Auf diese Weise kann man nun für einen beliebig großen Adventskranz die Zahl der erforderlichen Abbrandeinheiten ermitteln. Für den klassischen Adventskranz (k=4) benötigt man somit 10 Abbrandeinheiten. Die Zahl der Abbrandeinheiten a muss sich nun auf die Zahl der verfügbaren Kerzen k gleichmäßig aufteilen lassen. Teilt man also a durch k darf (im wahrsten Sinne des Wortes) kein Rest verbleiben. Oder anders formuliert, a=k\cdot m, also die Zahl der Abbrandeinheiten berechnet sich aus der Zahl der Kerzen multipliziert mit einem ganzzahligen Faktor m (m aus Z), damit \frac{a}{k} = m mit m aus Z.

Die These und der Beweis

Nach ein wenig Probieren (s.o.) konnte ich feststellen, dass das Problem bei k=1, 3 oder 5 nicht besteht, bei k=2 oder 4 hingegen wohl, oder ich zumindest noch keine Lösung gefunden habe. Auffällig ist, dass es eine Unterscheidung zwischen geraden und ungeraden Kerzen-/Wochenanzahlen gibt. Daher formuliere ich nun die gewagte These, dass das Adventskranzproblem bei ungerader Kerzenanzahl nicht besteht, bei gerader Anzahl hingegen wohl. Damit kommen wir zu einer einfachen Fallunterscheidung.

Im ersten Fall werden nun die geraden Zahlen betrachtet.

Eine gerade Zahl lässt sich dabei durch Multiplikation einer beliebigen natürlichen Zahl n mit 2 erzeugen. Hier sei dann also die Zahl der Kerzen/Wochen k = 2n mit n aus N. Damit sollte also a = km, bzw. a = 2nm mit m aus Z gelten (und km und nm sind keine Längeneinheiten!).

a ist wiederum durch die Formel von oben zu berechnen, also (k+1)\frac{k}{2} = 2nm, bzw. \frac{(2n+1)2n}{2} = 2nm, welches recht offensichtlich durch 2n geteilt werden kann und \frac{2n+1}{2} = m ergibt.

Da 2n eine gerade Zahl ist, ist 2n+1 zwangsweise eine ungerade Zahl. Teilt man eine ungerade Zahl durch 2 (wie dies auf der linken Seite der Gleichung gefordert wird), erhält man in jedem Fall eine nicht ganze Zahl (,sondern eine Zahl, die auf ,5 endet). Das widerspricht damit der Forderung, dass m eine ganze Zahl sein muss, wodurch wir hier einen Widerspruch haben und rückwärts betrachtet folgern können, dass es keine gerade Anzahl Kerzen auf einem Adventskranz geben kann, bei der das Adventskranzproblem nicht auftritt.

Bleibt noch die Betrachtung für die ungeraden Zahlen im zweiten Fall.

Wie schon bemerkt lassen sich ungerade Zahlen durch 2n+1 mit n aus N erzeugen. Für diesen Fall gilt also, dass die Zahl der Kerzen k = 2n+1 ist. Entsprechend des Vorgehens im ersten Fall gilt nun (k+1)\frac{k}{2} = km, bzw. \frac{(2n+1 + 1)(2n+1)}{2} = (2n+1)m

Auch hier kann recht einfach durch 2n+1 geteilt werden und man erhält die folgende Gleichung: \frac{2n+2}{2} = m, bzw. \frac{2(n+1)}{2} = m, bzw. n+1 = m

Diese Aussage (eine um eins erhöhte natürliche Zahl ergibt eine ganze Zahl) ist unbestritten wahr, womit die Aussage des zweiten Falles, bei einer ungeraden Anzahl an Kerzen ist ein gleichmäßiger Abbrand möglich, bewiesen wäre.

Es gilt also festzuhalten, dass insbesondere der klassische Adventskranz mit 4 Kerzen, bzw. mit gerader Kerzenanzahl im Allgemeinen nicht für einen Abbrand ohne Rest nach klassischem Schema geeignet ist.

Geht dennoch noch was?

Doch wir wollen uns damit nicht zufrieden geben, denn es ist davon auszugehen, dass die Kirchen keine Änderung an der Zahl der Adventswochen vornehmen wird. Daher versuchen wir einen Modus für den klassischen Adventskranz zu finden indem die Zahl der Abbrandeinheiten dadurch erhöht wird, dass auch innerhalb einer Woche unterschiedliche Kerzen entzündet werden können. Zum Beispiel könnten Kerzen nur am Wochenende angezündet werden, wobei Samstags und Sonntags durchaus unterschiedliche Kerzen brennen.

Das dies zu einer Lösung führen kann, sei an dem Beispiel zweier Kerzen dargestellt:

  • 1. Samstag: Kerze 1 (Kerzenzustand danach \frac{2}{3}, 1),
  • 1. Sonntag: Kerze 2 (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}),
  • 2. Samstag und 2. Sonntag jeweils beide Kerzen (0, 0).

Die Überlegungen sind nun nur noch für die geraden Kerzenanzahlen von Interesse, da bei ungerader Anzahl die Lösung bereits vorhanden ist, bzw. durch nicht Wechseln der Kerze unter der Woche ebenfalls erzielt werden kann. Es erhöht sich nach dem nun verfolgten Ansatz die Zahl der Abbrandeinheiten um den Faktor f (aus N) der Tage in der Woche, in der die Kerzen brennen.

Werden nur an Wochenenden (Samstag und Sonntag) die Kerzen entzündet, so haben wir einen Faktor f=2. Werden die Kerzen an jedem Tag der Woche genutzt, so lautet der Faktor f=7.

a = km = \frac{f\cdot(k+1)k}{2}, wobei k=2n und a, f, k, n und m aus N sind.

Ergo ist

2nm =\frac{f\cdot(2n+1)\cdot2n}{2} | :2n

m = \frac{f\cdot(2n+1)}{2}

Der hintere Teil der Gleichung ist bekannt aus dem vorherigen Beweis. \frac{2n+1}{2} ergibt immer eine Dezimalzahl mit einer 5 hinter dem Komma. Offensichtlich kann aber der Bruch, also das Teilen durch 2, entfernt (gekürzt) werden, wenn f eine gerade Zahl ist. Die Schlussfolgerung lautet also, wenn die Kerzen an einer geraden Zahl an Tagen in der Woche entzündet werden, so lässt sich ein gleichmäßiger Abbrand auch bei einer geraden Anzahl an Kerzen auf dem Adventskranz realisieren.

Eine Lösung für das Adventskranzproblem

Für die im folgenden aufgezeigte Lösung wird von der Lehre ausgegangen, dass nur der Sonntag ein “Adventssonntag” ist, also der jeweilige Advent erst am Sonntag beginnt. Damit ist am darauffolgenden Samstag immer noch der gleiche Advent wie am Sonntag davor.

  • Sonntag, 1. Advent: Kerze 1 brennt
  • Samstag, 1. Advent: Kerze 2 brennt
  • Sonntag, 2. Advent: Kerzen 3 und 4 brennen
  • Samstag, 2. Advent: Kerzen 1 und 2 brennen
  • Sonntag, 3. Advent: Kerzen 2, 3 und 4 brennen
  • Samstag, 3. Advent: Kerzen 1, 3 und 4 brennen
  • Sonntag, 4. Advent und weitere Tage: alle vier Kerzen brennen

1 Gedanke zu “Das Adventskranzproblem”

  1. Hallöchen,

    oh mein Gott ich musste gerade soooo lachen bei der mathematischen Berechnung der Kerzengröße! Wirklich herrlich! Ich bin gerade auch am Rechnen. Ich berechne gerade die Größe meiner Werkbänke komplett. Aber deine Rechenaufgabe ist deutlich lustiger!

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