PQ-Formel mit Herleitung

Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen.

Die PQ-Formel

Für eine quadratische Gleichung der Form

$x^2+px+q = 0$

ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:

$x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel.

Herleitung

Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden:

$x^2+px+q = 0 | -q$

$\Leftrightarrow x^2+px = -q | +\frac{p^2}{4}$ (quadratische Ergänzung)

$\Leftrightarrow x^2+px+\frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4}-q$

$\Leftrightarrow x^2+px+(\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2-q$ | Anwendung der ersten binomischen Formel

$\Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2-q$ | Wurzel ziehen, dadurch nun Fallunterscheidung

$\Leftrightarrow x_{1/2}+\frac{p}{2} = \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} | -\frac{p}{2}$

$\Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

q.e.d.

Beweis

Die Korrektheit der P-Q-Formel kann wie folgt überprüft werden:

Da es zwei Lösungsfälle gibt (x₁ und x₁) ist der Beweis im Rahmen einer Fallunterscheidung zu führen.

1. Fall x = x₁

$x^2+px+q = 0$ | Einsetzen einer Lösung $x=x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

$\Leftrightarrow (-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})^2 + p(-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}) + q = 0$ | auflösen, erste Binomische Formeln berücksichtigen

$\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2+2\cdot(-\frac{p}{2})\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})^2 + p(-\frac{p}{2})+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0$ | ausklammern, vereinfachen

$\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2-p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\frac{p}{2})^2-q -\frac{p^2}{2}+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0$ | anwenden des Kommutativgesetzes

$\Leftrightarrow (\frac{p}{2})^2+(-\frac{p}{2})^2-\frac{p^2}{2} - q+q - p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} = 0$ | vereinfachen

$\Leftrightarrow \frac{p^2}{2^2}+\frac{(-p)^2}{2^2}-\frac{p^2}{2} = 0$ | weiter vereinfachen

$\Leftrightarrow (\frac{p^2}{4}+\frac{p^2}{4})-\frac{p^2}{2} = 0$ | weiter vereinfachen

$\Leftrightarrow \frac{p^2}{2}-\frac{p^2}{2} = 0$ | weiter vereinfachen

$\Leftrightarrow 0 = 0$

2. Fall x = x₂

Der 2. Fall unterscheidet sich im Beweis nur marginal vom 1. Fall:

$x^2+px+q = 0$ | Einsetzen einer Lösung $x=x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

$\Leftrightarrow (-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})^2 + p(-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q)}) + q = 0$ | auflösen, zweite Binomische Formel berücksichtigen

$\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2+2\cdot \frac{p}{2}\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q)}^2 + p(-\frac{p}{2})-p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0$ | ausklammern, vereinfachen

$\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\frac{p}{2})^2-q+(-\frac{p^2}{2})-p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0$ | anwenden des Kommutativgesetzes

$\Leftrightarrow (\frac{p}{2})^2+(-\frac{p}{2})^2+(-\frac{p^2}{2}) - q+q - p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} = 0$ | vereinfachen

$\Leftrightarrow \frac{p^2}{2^2}+\frac{-p^2}{2^2}-\frac{p^2}{2} = 0$ | weiter vereinfachen

$\Leftrightarrow (\frac{p^2}{4}+\frac{p^2}{4})-\frac{p^2}{2} = 0$ | weiter vereinfachen

$\Leftrightarrow \frac{p^2}{2}-\frac{p^2}{2} = 0$ | weiter vereinfachen

$\Leftrightarrow 0 = 0$

q.e.d.

Anwendung und Beispiele zur PQ-Formel

Die PQ-Formel wird gerne zur Berechnung von Nullstellen verwendet, daher ist die Ausgangsform der PQ-Formel auch auf null normiert (=0). In der Praxis tauchen quadratische Gleichungen jedoch nicht immer in dieser Form auf, so dass sie zunächst in diese Form gebracht werden müssen. Zwei wesentliche Punkte sind dabei zu beachten:

eine Seite der Gleichung muss gleich null und
der Koeffizient von x² muss gleich 1 sein.

Um dies aus einer beliebigen quadratischen Gleichung zu erreichen sind zwei einfache Schritte erforderlich:

Durch Subtrahieren von Termen auf der einen Seite der Gleichung kann man diese auf die andere Seite transferieren bis nur noch null verbleibt: $3x^2+x=3x+1 | -(3x+1) \Leftrightarrow 3x^2-2x-1=0$
Durch Dividieren des Koeffizienten von x² wird der Koeffizient von x² gleich 1. Achtung: Alle anderen Koeffizienten müssen auch durch diesen Wert geteilt werden! $3x^2-2x-1=0 | :3 \Leftrightarrow x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$ Dieser Schritt entfällt bei der a-b-c-Formel.