Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen.
Die PQ-Formel
Für eine quadratische Gleichung der Form
ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:
In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel.
Herleitung
Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden:
(quadratische Ergänzung)
| Anwendung der ersten binomischen Formel
| Wurzel ziehen, dadurch nun Fallunterscheidung
q.e.d.
Beweis
Die Korrektheit der P-Q-Formel kann wie folgt überprüft werden:
Da es zwei Lösungsfälle gibt (x1 und x1) ist der Beweis im Rahmen einer Fallunterscheidung zu führen.
1. Fall x = x1
| Einsetzen einer Lösung
| auflösen, erste Binomische Formeln berücksichtigen
| ausklammern, vereinfachen
| anwenden des Kommutativgesetzes
| vereinfachen
| weiter vereinfachen
| weiter vereinfachen
| weiter vereinfachen
2. Fall x = x2
Der 2. Fall unterscheidet sich im Beweis nur marginal vom 1. Fall:
| Einsetzen einer Lösung
| auflösen, zweite Binomische Formel berücksichtigen
| ausklammern, vereinfachen
| anwenden des Kommutativgesetzes
| vereinfachen
| weiter vereinfachen
| weiter vereinfachen
| weiter vereinfachen
q.e.d.
Anwendung und Beispiele zur PQ-Formel
Die PQ-Formel wird gerne zur Berechnung von Nullstellen verwendet, daher ist die Ausgangsform der PQ-Formel auch auf null normiert (=0). In der Praxis tauchen quadratische Gleichungen jedoch nicht immer in dieser Form auf, so dass sie zunächst in diese Form gebracht werden müssen. Zwei wesentliche Punkte sind dabei zu beachten:
- eine Seite der Gleichung muss gleich null und
- der Koeffizient von x² muss gleich 1 sein.
Um dies aus einer beliebigen quadratischen Gleichung zu erreichen sind zwei einfache Schritte erforderlich:
- Durch Subtrahieren von Termen auf der einen Seite der Gleichung kann man diese auf die andere Seite transferieren bis nur noch null verbleibt:
- Durch Dividieren des Koeffizienten von x² wird der Koeffizient von x² gleich 1. Achtung: Alle anderen Koeffizienten müssen auch durch diesen Wert geteilt werden!
Dieser Schritt entfällt bei der a-b-c-Formel.
Damit ist die quadratische Gleichung in die Normalform überführt worden und bereit für die Anwendung der PQ-Formel.
Beispiel:
|Anwendung der PQ-Formel mit
und
(Achtung Vorzeichen!)
| beseitigen der Doppelbrüche
und