Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

PQ-Formel mit Herleitung

Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen.

Die PQ-Formel

Für eine quadratische Gleichung der Form

x^2+px+q = 0

ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen:

x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel.

Herleitung

Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden:

x^2+px+q = 0 | -q

\Leftrightarrow x^2+px = -q | +\frac{p^2}{4} (quadratische Ergänzung)

\Leftrightarrow x^2+px+\frac{p^2}{4} = \frac{p^2}{4}-q

\Leftrightarrow x^2+px+(\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2-q | Anwendung der ersten binomischen Formel

\Leftrightarrow (x+\frac{p}{2})^2 = (\frac{p}{2})^2-q | Wurzel ziehen, dadurch nun Fallunterscheidung

\Leftrightarrow x_{1/2}+\frac{p}{2} = \pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} | -\frac{p}{2}

\Leftrightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

q.e.d.

Beweis

Die Korrektheit der P-Q-Formel kann wie folgt überprüft werden:

Da es zwei Lösungsfälle gibt (x1 und x1) ist der Beweis im Rahmen einer Fallunterscheidung zu führen.

1. Fall x = x1

x^2+px+q = 0 | Einsetzen einer Lösung x=x_1=-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

\Leftrightarrow (-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})^2 + p(-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}) + q = 0 | auflösen, erste Binomische Formeln berücksichtigen

\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2+2\cdot(-\frac{p}{2})\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})^2 + p(-\frac{p}{2})+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0 | ausklammern, vereinfachen

\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2-p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\frac{p}{2})^2-q -\frac{p^2}{2}+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0 | anwenden des Kommutativgesetzes

\Leftrightarrow (\frac{p}{2})^2+(-\frac{p}{2})^2-\frac{p^2}{2} - q+q - p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} = 0 | vereinfachen

\Leftrightarrow \frac{p^2}{2^2}+\frac{(-p)^2}{2^2}-\frac{p^2}{2} = 0 | weiter vereinfachen

\Leftrightarrow (\frac{p^2}{4}+\frac{p^2}{4})-\frac{p^2}{2} = 0 | weiter vereinfachen

\Leftrightarrow \frac{p^2}{2}-\frac{p^2}{2} = 0 | weiter vereinfachen

\Leftrightarrow 0 = 0

2. Fall x = x2

Der 2. Fall unterscheidet sich im Beweis nur marginal vom 1. Fall:

x^2+px+q = 0 | Einsetzen einer Lösung x=x_2=-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}

\Leftrightarrow (-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q})^2 + p(-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q)}) + q = 0 | auflösen, zweite Binomische Formel berücksichtigen

\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2+2\cdot \frac{p}{2}\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q)}^2 + p(-\frac{p}{2})-p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0 | ausklammern, vereinfachen

\Leftrightarrow (-\frac{p}{2})^2+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+(\frac{p}{2})^2-q+(-\frac{p^2}{2})-p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} + q = 0 | anwenden des Kommutativgesetzes

\Leftrightarrow (\frac{p}{2})^2+(-\frac{p}{2})^2+(-\frac{p^2}{2}) - q+q - p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}+p\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q} = 0 | vereinfachen

\Leftrightarrow \frac{p^2}{2^2}+\frac{-p^2}{2^2}-\frac{p^2}{2} = 0 | weiter vereinfachen

\Leftrightarrow (\frac{p^2}{4}+\frac{p^2}{4})-\frac{p^2}{2} = 0 | weiter vereinfachen

\Leftrightarrow \frac{p^2}{2}-\frac{p^2}{2} = 0 | weiter vereinfachen

\Leftrightarrow 0 = 0

q.e.d.

Anwendung und Beispiele zur PQ-Formel

Die PQ-Formel wird gerne zur Berechnung von Nullstellen verwendet, daher ist die Ausgangsform der PQ-Formel auch auf null normiert (=0). In der Praxis tauchen quadratische Gleichungen jedoch nicht immer in dieser Form auf, so dass sie zunächst in diese Form gebracht werden müssen. Zwei wesentliche Punkte sind dabei zu beachten:

  1. eine Seite der Gleichung muss gleich null und
  2. der Koeffizient von x² muss gleich 1 sein.

Um dies aus einer beliebigen quadratischen Gleichung zu erreichen sind zwei einfache Schritte erforderlich:

  1. Durch Subtrahieren von Termen auf der einen Seite der Gleichung kann man diese auf die andere Seite transferieren bis nur noch null verbleibt: 3x^2+x=3x+1 | -(3x+1) \Leftrightarrow 3x^2-2x-1=0
  2. Durch Dividieren des Koeffizienten von x² wird der Koeffizient von x² gleich 1. Achtung: Alle anderen Koeffizienten müssen auch durch diesen Wert geteilt werden! 3x^2-2x-1=0 | :3 \Leftrightarrow x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0 Dieser Schritt entfällt bei der a-b-c-Formel.

Damit ist die quadratische Gleichung in die Normalform überführt worden und bereit für die Anwendung der PQ-Formel.

Beispiel:

x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0|Anwendung der PQ-Formel mit p=-\frac{2}{3} und q=-\frac{1}{3} (Achtung Vorzeichen!)

\Leftrightarrow x_{1/2}=-(\frac{-\frac{2}{3}}{2})\pm\sqrt{(\frac{-\frac{2}{3}}{2})^2-(-\frac{1}{3})}| beseitigen der Doppelbrüche

=\frac{2}{6}\pm\sqrt{(-\frac{2}{6})^2+\frac{1}{3}}

= \frac{2}{6}\pm\sqrt{\frac{4}{36}+\frac{12}{36}}

= \frac{2}{6}\pm\sqrt{\frac{16}{36}}

= \frac{2}{6}\pm\frac{4}{6}

\Leftrightarrow x_1=\frac{6}{6}=1 und x_2=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}

Schreibe einen Kommentar

Nutze dieses Kommentarfeld um deine Meinung oder Ergänzung zu diesem Beitrag kundzutun. Verhalte dich bitte respektvoll und höflich! Kommentare werden vor der Veröffentlichung in der Regel moderiert und bei Verstößen gegen geltendes Recht, die guten Sitten, fehlendem Bezug oder missbräuchlicher Verwendung nicht freigegeben oder gelöscht.
Über die Angabe deines Namens, deiner E-Mail Adresse und deiner Webseite freuen wir uns, doch diese Felder sind optional. Deine E-Mail Adresse wird dabei zu keinem Zeitpunkt veröffentlicht.

Um mit dem Betreiber dieser Seite nicht-öffentlich in Kontakt zu treten, nutze die Möglichkeiten im Impressum.