Mathematik

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Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung

Im mathematischen Teil meines Blogs habe ich schon eine Weile keine Beiträge verfasst. Doch das soll sich nun ändern, nachdem ich wieder eine Reihe an Diskussionen mit einem Nachhilfeschüler hatte. Das Thema heute betrifft die Parabeln, also die graphische Darstellung einer quadratischen Gleichung. Um diese nicht zeichnen zu müssen, bedient der eher faule, aber gescheite Mathematiker die Scheitelpunktform der Gleichung. Von der Normalform zur Scheitelpunktform Über die Scheitelpunktform Für die Schreibweise einer quadratischen Gleichung haben sich zwei Möglichkeiten etabliert. Zum einen handelt … weiterlesen…

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a-b-c-Formel

Eine allgemeinere Form der PQ-Formel stellt die a-b-c-Formel dar. Bei dieser auch Mitternachtsformel genannten Form wird auf eine leicht geänderte Ausgangsform der quadratischen Gleichung zurückgegriffen. Mitternachtsformel Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte… … weiterlesen…

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PQ-Formel mit Herleitung

Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen. Die PQ-Formel Für eine quadratische Gleichung der Form ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel. Herleitung Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden: (quadratische Ergänzung) | Anwendung der ersten binomischen … weiterlesen…

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Formeln für das Rechnen mit Wurzeln

Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln

Für das Rechnen mit Wurzeln (Radizieren) gibt es die nachfolgenden Regeln und Formeln:

Die Wurzel ist eine vereinfachte Schreibweise des gebrochenen Exponenten:

Die n-te Wurzel aus a ist definiert als a^\frac{1}{n}.

Allgemeiner gilt dann:

a^\frac{m}{n} entspricht der n-ten Wurzel aus a^m.

Da die Darstellung des Wurzelzeichens im Web nicht so einfach möglich ist, wird häufig auch die Abkürzung sqrt oder SQRT für die Quadratwurzel (aus dem Englischen square root) verwendet. sqrt(4) ist dabei nichts anderes wie \sqrt[2]{4}, also Wurzel aus 4.

Die Wurzel stellt damit auch die Umkehrfunktion des Potenzierens dar. \sqrt[2]{a^2}=a. (Die Quadratwurzel von a Quadrat ist gleich a.)

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Potenzregeln und Formeln

Zugegeben, in meiner mathematischen Formelsammlung mache ich nun einen recht großen Sprung. Doch bereits bei den binomischen Formeln wurde mit Exponenten gerechnet, so dass ein näherer Blick auf die Potenzregeln und Potenzgesetze erlaubt sein darf. Allgemeines zu den Potenzregeln Die Regeln und Gesetze für das Rechnen mit Exponenten (Potenzen) sind wie folgt: Ein mehrfaches Aufmultiplizieren eines Wertes/einer Formel kann vereinfacht durch die Exponentendarstellung geschrieben werden. Dabei gibt der Wert des Exponenten, also die “Hochzahl” die Zahl der Multiplikationen der Basis mit sich … weiterlesen…

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Binomische Formeln

Nachdem in den ersten Beiträgen meiner mathematischen Reihe die Grundlagen geschaffen wurden, kann ich mich nun dreier berühmt und berüchtigten Formeln zuwenden. Jeder Schüler wird sie einmal lernen und besser nie wieder vergessen müssen. Erste Binomische Formel Beweis/Herleitung: Die erste binomische Formeln lässt sich wie folgt herleiten: | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Zweite binomische Formel Die zweite binomische Formel unterscheidet sich nur durch ein Minuszeichen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen. Tückisch und damit eine Falle ist die Tatsache, dass nicht alle Vorzeichen … weiterlesen…