Im mathematischen Teil meines Blogs habe ich schon eine Weile keine Beiträge verfasst. Doch das soll sich nun ändern, nachdem ich wieder eine Reihe an Diskussionen mit einem Nachhilfeschüler hatte. Das Thema heute betrifft die Parabeln, also die graphische Darstellung einer quadratischen Gleichung. Um diese nicht zeichnen zu müssen, bedient der eher faule, aber gescheite Mathematiker die Scheitelpunktform der Gleichung. Von der Normalform zur Scheitelpunktform Über die Scheitelpunktform Für die Schreibweise einer quadratischen Gleichung haben sich zwei Möglichkeiten etabliert. Zum einen handelt es sich hierbei um die Normalform oder aber die für grafische Darstellunge interessantere Scheitelpunktform. Der Vorteil der letzteren liegt darin, dass die Lage und Orientierung der zugehörigen Parabel sehr leicht abgelesen werden kann. Die Normalform einer quadratischen Gleichung […]
WeiterlesenSchlagwort: Formel
a-b-c-Formel
Eine allgemeinere Form der PQ-Formel stellt die a-b-c-Formel dar. Bei dieser auch Mitternachtsformel genannten Form wird auf eine leicht geänderte Ausgangsform der quadratischen Gleichung zurückgegriffen. Mitternachtsformel Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte… Herleitung Die a-b-c-Formel als allgemeiner Fall der P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden. 1. Fall a = 0 Damit vereinfacht sich die Ausgangsformel. einsetzen Hier ist nun eine weitere Fallunterscheidung anzusetzen. Für […]
WeiterlesenPQ-Formel mit Herleitung
Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen. Die PQ-Formel Für eine quadratische Gleichung der Form ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel. Herleitung Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden: (quadratische Ergänzung) | Anwendung der ersten binomischen Formel | Wurzel ziehen, dadurch nun Fallunterscheidung q.e.d. Beweis Die Korrektheit der P-Q-Formel kann wie folgt überprüft werden: Da es zwei Lösungsfälle gibt (x1 und x1) ist der Beweis im Rahmen einer Fallunterscheidung zu führen. 1. Fall x […]
WeiterlesenFormeln für das Rechnen mit Wurzeln
Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln Für das Rechnen mit Wurzeln (Radizieren) gibt es die nachfolgenden Regeln und Formeln: Die Wurzel ist eine vereinfachte Schreibweise des gebrochenen Exponenten: Die n-te Wurzel aus a ist definiert als . Allgemeiner gilt dann: entspricht der n-ten Wurzel aus . Da die Darstellung des Wurzelzeichens im Web nicht so einfach möglich ist, wird häufig auch die Abkürzung sqrt oder SQRT für die Quadratwurzel (aus dem Englischen square root) verwendet. sqrt(4) ist dabei nichts anderes wie , also Wurzel aus 4. Die Wurzel stellt damit auch die Umkehrfunktion des Potenzierens dar. . (Die Quadratwurzel von a Quadrat ist gleich a.)
WeiterlesenPotenzregeln und Formeln
Zugegeben, in meiner mathematischen Formelsammlung mache ich nun einen recht großen Sprung. Doch bereits bei den binomischen Formeln wurde mit Exponenten gerechnet, so dass ein näherer Blick auf die Potenzregeln und Potenzgesetze erlaubt sein darf. Allgemeines zu den Potenzregeln Die Regeln und Gesetze für das Rechnen mit Exponenten (Potenzen) sind wie folgt: Ein mehrfaches Aufmultiplizieren eines Wertes/einer Formel kann vereinfacht durch die Exponentendarstellung geschrieben werden. Dabei gibt der Wert des Exponenten, also die “Hochzahl” die Zahl der Multiplikationen der Basis mit sich selbst an. Wird der Wert a n-mal mit sich selbst multipliziert (z.B. n = 3, also ), so wird vereinfacht an (im Beispiel: a3) geschrieben. a wird dabei Basis und n Exponent genannt. Bei n=2 ist es also […]
WeiterlesenBinomische Formeln
Nachdem in den ersten Beiträgen meiner mathematischen Reihe die Grundlagen geschaffen wurden, kann ich mich nun dreier berühmt und berüchtigten Formeln zuwenden. Jeder Schüler wird sie einmal lernen und besser nie wieder vergessen müssen. Erste Binomische Formel Beweis/Herleitung: Die erste binomische Formeln lässt sich wie folgt herleiten: | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Zweite binomische Formel Die zweite binomische Formel unterscheidet sich nur durch ein Minuszeichen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen. Tückisch und damit eine Falle ist die Tatsache, dass nicht alle Vorzeichen umgekehrt werden. Beweis/Herleitung: Die zweite binomische Formel lässt sich wie folgt herleiten: | Vorzeichen bereinigen | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Dritte binomische Formel Die dritte binomische Formel scheint zunächst überhaupt nicht zu den ersten beiden zu passen, doch […]
Weiterlesen