Balkenwaage

Bild: © Etienne L. / Pixabay (modifiziert)

Klassiker: 12 Kugeln und eine Waage

Lesezeit etwa 4 Minuten

Der König besitzt 12 Kugeln aus Gold. Alle sind von identischer Größe und Form, lassen sich also optisch nicht voneinander unterscheiden. Nun hegt der misstrauische König den Verdacht, dass er betrogen wurde und eine dieser Kugeln nicht genauso schwer ist, wie die anderen und vermutlich aus einem anderen Material besteht.

Der äußerst ungeduldige König fordert nun dazu auf die betreffende, falsche Goldkugel zu identifizieren und stellt dabei eine Balkenwaage zur Verfügung. Da der Herrscher allerdings dringend auf Rache aus ist, lässt er nur drei Wiegevorgänge zu, bevor er sich auch denjenigen vorknöpft, der die Kugeln überprüfen soll.

Wie kann man also mit einer Balkenwaage mit maximal drei Wiegevorgängen aus 12 Kugeln diejenige ermitteln, die sich vom Gewicht her von den anderen unterscheidet und zudem noch erkennen, ob diese Kugel leichter oder schwerer ist, als die anderen?

Lösung

Die Lösung dieses kniffligen und nicht allzu neuen Rätsels erfordert einige Fallunterscheidungen. Im ersten Schritt werden die Kugeln in drei gleich große Teilmengen, also in Gruppen von je 4 Kugeln aufgeteilt. Zwei dieser Vierergruppen (A und B) werden in einem ersten Wiegevorgang auf der Balkenwaage miteinander verglichen. Hieraus resultierend ergeben sich zunächst zwei Möglichkeiten: Die Waage zeigt an, dass beide Vierergruppen gleich schwer sind oder eine Vierergruppe ist schwerer als die andere. Je nach Ergebnis ändern sich die weiteren Schritte.

Fall 1: Gleichgewicht

Die erste Erkenntnis ist nun, dass sich die falsche Kugel in der Testgruppe C befinden muss. Die acht Kugeln in A und B sind alle gleich.

Im nächsten Schritt (2. Wiegevorgang) belässt man drei Kugeln aus der Testgruppe A (oder B) auf der Waagschale und legt auf die andere Waagschale drei Kugeln der Testgruppe C. Auch nun teilt sich der Fortgang in zwei Fälle auf:

Fall 1.1: Gleichgewicht

Die zweite Erkenntnis lautet, dass die verbliebene Kugel der Testgruppe C die falsche Kugel ist.

In einem dritten Wiegevorgang muss diese nun mit einer beliebigen anderen Kugel auf der Waage verglichen werden um festzustellen, ob sie nun leichter oder schwerer als die anderen Kugeln ist.

Fall 1.2: Ungleichgewicht

Die zweite Erkenntnis ist nun entsprechend des Wiegevorgangs, die Feststellung, ob die falsche Kugel leichter oder schwerer als die anderen ist. Sind die drei Kugeln aus der Testgruppe C schwerer, so liegt dies an der falschen Kugel. Ferner ist als Erkenntnis festzuhalten, dass die falsche Kugel unter den drei Kugeln der Testgruppe C auf der Waage zu suchen ist.

In einem letzten (3. Wiegevorgang) werden zwei der drei Kugeln aus der soeben gewogenen Testgruppe C miteinander auf der Waage verglichen. Kommt es nun zu einem Gleichgewicht, ist die dritte Kugel (diejenige, die nun nicht auf die Waage gelegt worden ist) die falsche. Bei einem Ungleichgewicht ist es diejenige Kugel auf der Waage, deren Gewichtsvergleich der vorherigen Feststellung des Gewichts der falschen Kugel entspricht. Wurde also festgestellt, dass die falsche Kugel schwerer sein muss also die anderen, dann liegt die falsche Goldkugel nun auf der Waagschale, die sich gesenkt hat.

Fall 2: Ungleichgewicht

Die erste Erkenntnis ist nun, dass sich die falsche Kugel in einer der beiden Testgruppen A oder B befinden muss. Die vier Kugeln in der Testgruppe C sind alle gleich.

Die Position der Waage sollte man sich nun merken, denn diese gibt Auskunft darüber, ob die falsche Kugel leichter oder schwerer als die anderen ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird nun die linke Waagschale betrachtet.

Im nächsten Schritt (2. Wiegevorgang) werden auf einer Seite der Waage (links) drei Kugeln entnommen und durch drei Kugeln von der anderen Seite (rechts) ersetzt. Die fehlenden drei Kugeln der anderen (rechten) Seite werden mit drei Kugeln aus der Testgruppe C ausgetauscht. Wichtig ist nun, dass man sich merkt, welche der Kugeln

Fall 2.1: Gleichgewicht

[adinserter block=”9″]Die zweite Erkenntnis ist nun, dass sich die falsche Kugel unter den soeben entnommenen drei Goldkugeln befinden muss. Hatte sich zuvor die linke Waagschale gesenkt, ist die falsche Kugel schwerer als die anderen.

Zwei dieser Kugeln werden nun auf der Waage miteinander verglichen (3. Wiegevorgang). Bleiben sie im Gleichgewicht, ist die dritte Kugel die falsche. Ihr Gewichtsverhältnis zu den Anderen ergibt sich aus der Position der linken Waagschale im vorangegangen Wiegevorgang. Im anderen Fall (Ungleichgewicht) ist die falsche Kugel auf der Seite zu finden, die der Position der linken Waagschale aus dem vorangegangenen Wiegevorgang entspricht.

Fall 2.2: Ungleichgewicht

Hat sich die Ausrichtung der Waage nicht verändert, hat man die falsche Kugel im Rahmen des neuen Wiegevorgangs auch nicht bewegt, ansonsten gehört die falsche Kugel zu den drei Goldkugeln, die von der rechten auf die linke Seite bewegt wurden.

Als weitere Erkenntnis kann man nun anhand der Position der Waagschale auf der die identifizierten Kugeln liegen erkennen, ob die falsche Kugel leichter oder schwerer ist als die anderen.

Zwei der drei identifizierten Kugeln vergleicht man nun auf der Waage miteinander (3. Wiegevorgang). Bleiben sie im Gleichgewicht, ist die dritte Kugel die falsche. Im anderen Fall (Ungleichgewicht) ist die falsche Kugel auf der Seite zu finden, die der Position der linken Waagschale bezogen auf das festgestellte Gewicht entspricht.

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