Mathematik

Bild: © lily / Photocase.de (modifiziert)

Tricks zur Multiplikation

Lesezeit etwa 4 Minuten

Wer ohne Taschenrechner multiplizieren möchte, kommt an dem kleinen und großen Einmaleins nicht vorbei. Hat man dieses einmal verinnerlicht, fallen alle weiteren Multiplikationen um ein Vielfaches leichter aus. Doch neben dem klassischen Auswendiglernen von Multiplikationsergebnissen gibt es noch einige Tricks, die einem in der Schule so kaum vermittelt werden und die Multiplikation vereinfachen.

Multiplikation zweier Zahlen zwischen 6 und 10

Ebenso wie bei der Addition von Zahlen mit den Fingern gezählt werden kann, kann auch die Multiplikation (das Malnehmen) von Zahlen größer als 6 und kleiner oder gleich 10 mit zwei Händen realisiert werden. Letztlich ist dabei nur das “ultrakleine” Einmaleins (1×1 bis 5×5) erforderlich und ein wenig Addition und Subtraktion erforderlich.

Der Kniff besteht darin, dass die beiden Faktoren zunächst um 5 reduziert werden. Sollen in meinem Beispiel nun 7 und 8 miteinander multipliziert werden, so sind die um jeweils 5 reduzierten Zahlen 7-5=2 und 8-5=3. Nun hält man die Finger der beiden Hände so aneinander, dass der zweite Finger (Ringfinger) der linken Hand mit dem dritten Finger (Mittelfinger) der rechten Hand zusammenstoßen. Hat man diese Position eingenommen, zählt man alle Finger, die unterhalb der beiden zusammenliegenden Finger liegen und die beiden aneinanderliegenden Finger zusammen. Dies sind also in dem Beispiel auf der linken Seite zwei und auf der rechten Seite drei, also insgesamt 2+3=5. Das Ergebnis repräsentiert die Zehnerstelle des Ergebnisses.

Im zweiten Teil der Rechnung müssen nun die Anzahl der Finger oberhalb der aneinanderliegenden Finger der linken und rechten Hand miteinander multipliziert werden. Links sind dies im gegebenen Beispiel nun drei Finger, rechts zwei Finger. Das Ergebnis der Multiplikation ist dann 2\cdot3=6 und zugleich die Einerstelle des Ergebnisses. Zusammengesetzt ist das Ergebnis der Rechnung 7\cdot8=56.

Ist mindestens einer der Faktoren eine sechs, funktioniert der Trick nur eingeschränkt, da es dann zu einem Übertrag kommen kann. Hierdurch darf man sich dann nicht verunsichern lassen.

Das dies auch immer funktioniert kann durch einen einfachen mathematischen Beweis gezeigt werden. Die angewandte Gleichung lautet nämlich

ab = 10[(a-5)+(b-5)]+[5-(a-5)][5-(b-5)] wobei a und b die beiden miteinander zu multiplizierenden Zahlen sind.

Im ersten Schritt sind von a und b jeweils 5 abzuziehen, so dass a-5 und b-5 auf der rechten Seite auftauchen. Die Multiplikation mit 10 wird erforderlich um das Ergebnis der ersten Teilrechnung  (a-5 + b-5) auf die Zehnerstelle zu schieben.

Der Beweis ergibt sich dann recht einfach indem die rechte Seite ausmultipliziert und vereinfacht wird.

\Leftrightarrow ab = 10[a+b-10]+[10-a][10-b]

\Leftrightarrow ab = [10a+10b-100]+[100-10a-10b+ab]

\Leftrightarrow ab = 10a-10a+10b-10b+100-100+ab

\Leftrightarrow ab = ab q.e.d.

Dieser Trick ist nett, aber recht müßig. Für die Multiplikation sind also zwei Subtraktionen, eine Addition und eine kleine Multiplikation erforderlich. Für häufigere Anwendungen ist es dann wirklich einfacher die noch verbliebenen 75 Zahlen (6×5 bis 10×10) des Einmaleins zu lernen.

Multiplikation zweier Zahlen unter 100

Der zweite Trick vereinfacht die Multiplikation zweier Zahlen zwischen 50 und 100 und setzt voraus, dass man die Multiplikation von Zahlen zwischen 1 und 50 besser beherrscht. Letzlich funktioniert die Rechnung dann ähnlich wie oben, nur dass hier die Hände nicht mehr ins Spiel kommen.

Zunächst zieht man beide Faktoren jeweils von der 100 ab und erhält dadurch deutlich kleinere Werte. Als Beispielrechnung soll hier 96 mit 93 multipliziert werden. Ziehe ich nun die Werte von der 100 ab erhalte ich für den ersten Faktor 100-96=4 und für den zweiten Faktor 100-93=7. Diese beiden Zahlen benötigt man nun für die folgenden Rechnenschritte.

Zunächst wird die Hunderter und Tausenderstelle des Ergebnisses berechnen. Hierzu addiert man die beiden kleinen Zahlen 4+7=11 und zieht das Ergebnis erneut von 100 ab (100-11=89). Das Ergebnis dieser Hilfsrechnung bildet dann die ersten beiden Stellen des Gesamtergebnisses.

Für die Einer- und Zehnerstelle des Gesamtergebnisses müssen nun die beiden kleinen Zahlen miteinander multipliziert werden: 4\cdot7=28.

Das Gesamtergebnis der Rechnung lautet dann 96\cdot93=89 28.

Dass auch diese Rechnung valide ist, kann ebenfalls durch einen kleinen mathematischen Beweis aufgezeigt werden. a und b seien nun wieder die beiden Faktoren der Rechnung.

ab = 100(100-[(100-a)+(100-b)]) + (100-a)(100-b)

100-a, bzw. 100-b stellen dabei die kleineren Zahlen für die Hilfsrechnungen dar. Der Faktor 100 dient wiederum dazu das Ergebnis der Hilfsrechnung auf die Hunderter- und Tausenderstelle zu heben. Als nächstes wird dann die rechte Seite der Gleichung wieder ausmultipliziert und vereinfacht.

\Leftrightarrow ab = 100(100-[200-a-b]) + (10000-100a-100b+ab)

\Leftrightarrow ab = 100(100-200+a+b) + (10000-100a-100b+ab)

\Leftrightarrow ab = 100(-100+a+b) + (10000-100a-100b+ab)

\Leftrightarrow ab = -10000+100a+100b + 10000-100a-100b+ab

\Leftrightarrow ab = ab q.e.d.

Rechnerisch ist dieser Trick also für alle Zahlen korrekt. Wem also die Multiplikation von 1 und 2 zu leicht fällt, kann diese Multiplikation durch den Trick auch entsprechend erschweren und dann 99 und 98 im Kopf multiplizieren. Auch für Zahlen jenseits der Hundert ist der Trick anwendbar, führt dann aber nicht zu einer Vereinfachung der Rechnung.

Aber auch hier noch einmal zum Vergleich: Der Aufwand unter Anwendung dieser Technik erfordert dreier Subtraktionen, dreier Additionen und einer Multiplikation “kleinerer” Zahlen.

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