Lösung
Die Lösung dieses kniffligen und nicht allzu neuen Rätsels erfordert einige Fallunterscheidungen. Im ersten Schritt werden die Kugeln in drei gleich große Teilmengen, also in Gruppen von je 4 Kugeln aufgeteilt. Zwei dieser Vierergruppen (A und B) werden in einem ersten Wiegevorgang auf der Balkenwaage miteinander verglichen. Hieraus resultierend ergeben sich zunächst zwei Möglichkeiten: Die Waage zeigt an, dass beide Vierergruppen gleich schwer sind oder eine Vierergruppe ist schwerer als die andere. Je nach Ergebnis ändern sich die weiteren Schritte.
Fall 1: Gleichgewicht
Die erste Erkenntnis ist nun, dass sich die falsche Kugel in der Testgruppe C befinden muss. Die acht Kugeln in A und B sind alle gleich.
Im nächsten Schritt (2. Wiegevorgang) belässt man drei Kugeln aus der Testgruppe A (oder B) auf der Waagschale und legt auf die andere Waagschale drei Kugeln der Testgruppe C. Auch nun teilt sich der Fortgang in zwei Fälle auf:
Fall 1.1: Gleichgewicht
Die zweite Erkenntnis lautet, dass die verbliebene Kugel der Testgruppe C die falsche Kugel ist.
In einem dritten Wiegevorgang muss diese nun mit einer beliebigen anderen Kugel auf der Waage verglichen werden um festzustellen, ob sie nun leichter oder schwerer als die anderen Kugeln ist.
Fall 1.2: Ungleichgewicht
Die zweite Erkenntnis ist nun entsprechend des Wiegevorgangs, die Feststellung, ob die falsche Kugel leichter oder schwerer als die anderen ist. Sind die drei Kugeln aus der Testgruppe C schwerer, so liegt dies an der falschen Kugel. Ferner ist als Erkenntnis festzuhalten, dass die falsche Kugel unter den drei Kugeln der Testgruppe C auf der Waage zu suchen ist.
In einem letzten (3. Wiegevorgang) werden zwei der drei Kugeln aus der soeben gewogenen Testgruppe C miteinander auf der Waage verglichen. Kommt es nun zu einem Gleichgewicht, ist die dritte Kugel (diejenige, die nun nicht auf die Waage gelegt worden ist) die falsche. Bei einem Ungleichgewicht ist es diejenige Kugel auf der Waage, deren Gewichtsvergleich der vorherigen Feststellung des Gewichts der falschen Kugel entspricht. Wurde also festgestellt, dass die falsche Kugel schwerer sein muss also die anderen, dann liegt die falsche Goldkugel nun auf der Waagschale, die sich gesenkt hat.
Fall 2: Ungleichgewicht
Die erste Erkenntnis ist nun, dass sich die falsche Kugel in einer der beiden Testgruppen A oder B befinden muss. Die vier Kugeln in der Testgruppe C sind alle gleich.
Die Position der Waage sollte man sich nun merken, denn diese gibt Auskunft darüber, ob die falsche Kugel leichter oder schwerer als die anderen ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird nun die linke Waagschale betrachtet.
Im nächsten Schritt (2. Wiegevorgang) werden auf einer Seite der Waage (links) drei Kugeln entnommen und durch drei Kugeln von der anderen Seite (rechts) ersetzt. Die fehlenden drei Kugeln der anderen (rechten) Seite werden mit drei Kugeln aus der Testgruppe C ausgetauscht. Wichtig ist nun, dass man sich merkt, welche der Kugeln
Fall 2.1: Gleichgewicht
Die zweite Erkenntnis ist nun, dass sich die falsche Kugel unter den soeben entnommenen drei Goldkugeln befinden muss. Hatte sich zuvor die linke Waagschale gesenkt, ist die falsche Kugel schwerer als die anderen.
Zwei dieser Kugeln werden nun auf der Waage miteinander verglichen (3. Wiegevorgang). Bleiben sie im Gleichgewicht, ist die dritte Kugel die falsche. Ihr Gewichtsverhältnis zu den Anderen ergibt sich aus der Position der linken Waagschale im vorangegangen Wiegevorgang. Im anderen Fall (Ungleichgewicht) ist die falsche Kugel auf der Seite zu finden, die der Position der linken Waagschale aus dem vorangegangenen Wiegevorgang entspricht.
Fall 2.2: Ungleichgewicht
Hat sich die Ausrichtung der Waage nicht verändert, hat man die falsche Kugel im Rahmen des neuen Wiegevorgangs auch nicht bewegt, ansonsten gehört die falsche Kugel zu den drei Goldkugeln, die von der rechten auf die linke Seite bewegt wurden.
Als weitere Erkenntnis kann man nun anhand der Position der Waagschale auf der die identifizierten Kugeln liegen erkennen, ob die falsche Kugel leichter oder schwerer ist als die anderen.
Zwei der drei identifizierten Kugeln vergleicht man nun auf der Waage miteinander (3. Wiegevorgang). Bleiben sie im Gleichgewicht, ist die dritte Kugel die falsche. Im anderen Fall (Ungleichgewicht) ist die falsche Kugel auf der Seite zu finden, die der Position der linken Waagschale bezogen auf das festgestellte Gewicht entspricht.
Mit 4 3stapeln gehts einfacher.
Ich habe einen Fehler gemacht Klapp eine Methode nicht
3 4er stapel ist die einzige Lösung. mit 4 ern geht’s nicht auf
Zwei 6er Gruppen, eine legen wir bei Seite.
Die anderen 6 teilen wir in zwei dreier Stapel, welche wir nun wiegen.
Fall eins: die Waage ist ausgeglichen und wir folgern daraus, daß in dieser Gruppe alle dasselbe wiegen… Diese Kugeln sind irrelevant.
Schritt zwei:
Wir nehmen nun die sechs verbleibenden Kugeln und teilen sie in 2er Paare. Und wiegen nun zwei gegen zwei
Auch hier gibt es zwei Möglichkeiten
Erstens die Waage ist im Gleichgewicht,
Dann wiegen wir eine beiden übrig gebliebenden mit einer derer von der wir wissen das sie 10 gleichgesinnte hat, und auf der anderen Seite legen wir 2 von denen wir wissen wie schwer sie sind.
Wenn die Waage im Gleichgewicht ist, ist die Einzelne Übrieg gebliebene jene die gesucht wird.
Fall zwei, die Waage ist im Ungleichgewicht, dann wissen wir das das Objekt von Interesse in einer der beiden Gruppen ist.
Und in dem Fall machen wir mit Schritt zwei weiter!
Dieses Rätsel ist verdammt hart. Hab noch keine Lösungen gefunden :( Aber: die Kugel ist schwerer oder leichter, somit kannst du bei den beiden 6er Grüppchen gar nicht wissen, welcher Haufen nun der richtige bzw. falsche ist! Angenommen, du erwischt die 6er Gruppe ohne Gewichtsunterschied, unterteilst in 2 er Gruppen und stellst nach zwei Messungen fest dass die Kugel im anderen Haufen sein muss, dann ist die Kugel nicht auffindbar. Du bist vom Idealfall ausgegangen und hast diese Möglichkeit ausgeschlossen. Ich denke, dies muss beim Lösen berücksichtigt werden…
Zwei 5er Stapel gehen auch.
Schritt 1
2 Kugeln beiseite legen. Die restlichen 10 in 2 5er stapel aufteilen.
Fall1 -> die waage ist gleich, also ist es eine der zwei beiseite gelegten kugeln. die beiden wiegen und herausfinden welche es ist.
Fall zwei:
eine seite ist schwerer. die 5 übrigen kugeln in 2 2er gruppen aufteilen.
entweder sie sind gleich schwer(die eine beiseite gelegte kugel ist die schwerere) oder
eine seite ist schwerer.
in dem falle einfach die beiden übrig gebliebenen kugeln wiegen. done! :)
Die gesuchte Kugel ist aber schwerer oder leichter (“nicht genauso schwer”)! Somit ist nicht klar, welche der beiden 5er Gruppen nun die Richtige zum Weitermessen ist. Angenommen du erwischt zufällig in der zweiten Messung die Entsprechenden, also zwei 2er Gruppen mit Ungleichgewicht, kannst du nicht endgültig bestimmen, welches die gesuchte Kugel ist, weil die dritte Messung Möglichkeiten offen lassen würde.
Die gesuchte Kugel weicht von der restlichen elf ab, sie ist schwerer oder leichter! Es heisst ja dass “eine dieser Kugeln nicht genauso schwer ist, wie die anderen”. Eine leichtere Kugel ist ebenfalls nicht so schwer wie die anderen ^^. Deshalb ist bei der 5er Methode nicht klar, welche der beiden Seiten überhaupt die Richtige ist! Dein Rechenweg wäre der Idealfall, aber es sind gleichzeitig weitere Möglichkeiten möglich, mach weiter!
ähm… ich wiege 8 Kugeln (2×4)….
sind diese gleich, kommt der dritte 4er Stapel zum Einsatz. So oder so habe ich nach dem ersten Wiegevorgang einen Viererstapel mit der “leichten” Kugel.
2. Wiegen: 2 – 2 –> Daraus den leichteren “Stapel”
3. Wiegen: 1-1 –> Fertig :)
Dieses Vorgehen führt leider nur bedingt zum Ziel, denn in diesem Fall wird vorausgesetzt, dass die gesuchte Kugel leichter ist als die anderen. In der Ausgangsfrage steht darüber allerdings nichts, sondern nur der Hinweis, dass sich eine Kugel vom Gewicht her unterscheidet, also auch schwerer sein könnte.
Ich habe folgenden Lösungsansatz. Habe ich an einer Stelle einen Denkfehler oder ist das auch eine Lösung.
Wiegen 1: (abcd) schwerer (efgh) leichter ijkl(gehören damit zu den gleich schweren)
Wiegen 2 (aijk) (efcd) (bgh) zur Seite
also auf einer Seite 1 behalten und mit den 3 gleichen ersetzen, auf der anderen seite lasse ich aber 2/2
1.) Fall 1 Gleichgewicht, deshalb gesucht Kugel bei bgh
bg kann ich gegen 2 andere wiegen wenn gleich h leichter/ wenn bg nach unten geht war b schwerer wenn bg nach oben geht war g leichter
2. efcd schwerer heißt schwerere Kugel bei cd, c gegen d wiegen wer schwerer ist gesuchte Kugel
3.)aijk schwerer heißt cd umlegen keinen Einfluss sind also gleich schwer gesuchte Kugel bei aef
ae gegen zwei andere wenn gleich gesuchte Kugel f (leichter) wenn ae schwerer a schwerer sonst e leichter.
Der Ansatz ist nicht verkehrt, hat aber – soweit ich das durchdringe – eine Schwäche, denn er setzt voraus, dass die “falsche” Kugel schwerer ist. Die Aufgabenstellung sagt aber nur, dass die Kugel ein anderes Gewicht hat. Ob schwerer oder leichter ist unbekannt.