Das Rätsel mit der Rolltreppe

Ähnliche Aufgabenstellung

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Ähnlich sieht der Vorgang aus, wenn man versucht eine Strecke mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten zurückzulegen. Die erste Hälfte der Strecke wird getrödelt. Um dies wieder auszugleichen möchte man die zweite Hälfte dann in der doppelten Geschwindigkeit zurücklegen um den Zeitverlust wieder zu kompensieren. Tatsächlich führt dies nicht zum Erfolg, zumindest nicht zu dem, dass anschließend die Durchschnittsgeschwindigkeit dem Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten entspricht.

Beispiel: Die Strecke beträgt 200 km. Die erste Hälfte, also 100 km, wird mit 50 km/h zurückgelegt, die zweite mit 100 km/h in der Annahme, dass dies eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 75 km/h ergibt.

Rechnerisch bedeutet dies, dass für die ersten 100 km zwei Stunden ($latex \frac{100}{50} = 2$) und für die zweiten 100 km exakt eine Stunde benötigt wird. Somit wurden 200 km in drei Stunden zurückgelegt, was einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $latex \frac{200}{3} = 66.7$ km/h entspricht – und nicht den erwarteten 75 km/h.

Die Strecke hätte hierfür nicht basierend auf der Entfernung halbiert werden dürfen, sondern zeitlich:

Für die 200 km bei einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 75 km/h werden $latex \frac{200}{75} = \frac{8}{3}$ Stunden benötigt. Die Hälfte der Zeit ($latex \frac{4}{3}$ Stunden) trödelt man nun mit 50 km/h, die andere Hälfte der Zeit fährt man mit 100 km/h:

$latex \frac{4}{3}\cdot50+\frac{4}{3}\cdot100 = 200$ km, bzw. $latex \frac{200}{\frac{8}{3}} = 75$ km/h.

Die Geschwindigkeit v errechnet sich generell aus $latex v = \frac{s}{t}$, wobei s die zurückgelegte Strecke und t die dafür benötigte Zeit ist. Teilt man die Strecke in zwei gleichlange Teile (s1 und s2) auf, für die dann die Zeitspannen t1 und t2 benötigt werden, ergeben sich die Einzelgeschwindigkeiten $latex v_1 = \frac{s_1}{t_1} = \frac{\frac{s}{2}}{t1}$ und entsprechend $latex v_2 = \frac{\frac{1}{2}s}{t_2}$. Die naive Annahme ist nun, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit dem Mittelwert der beiden Geschwindigkeiten $latex v = \frac{v_1+v_2}{2}$ entspricht ($latex = \frac{1}{2} (\frac{\frac{s}{2}}{t_1} + \frac{\frac{s}{2}}{t_2}) = \frac{s}{4t_1} + \frac{s}{4t_2} = \frac{s}{4}(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2})$), dem ist allerdings nicht so.

Tatsächlich ist die Gesamt-, bzw. Durchschnittsgeschwindigkeit $latex v = \frac{s}{t} = \frac{s}{t_1+t_2}$.

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