Das Rätsel mit der Rolltreppe

Die Lösung

Die Lösung

Der erste Ansatz läuft bei den meisten darauf hinaus, den Mittelwert der beiden Werte zu ermitteln, denn – so möchte man meinen – wenn man in die eine Richtung 90 und in die andere 60 Stufen nimmt, dann liegt die Wahrheit vermutlich genau in der Mitte, also bei \frac{60+90}{2}=75. Dies ist allerdings nicht korrekt.

Tatsächlich sind es nur 72 Stufen, die bei stehender Rolltreppe zu nehmen sind.

Der Kniff bei dieser Aufgabe ist die Tatsache, dass man mit der Geschwindigkeit, bzw. der Zeitkomponente arbeiten muss. Zunächst lassen sich zwei Gleichungen aufstellen:

Läuft er entgegen der Fahrtrichtung, überwindet er 90 Stufen, die sich aus der Zahl der Stufen s bei stehender Rolltreppe ergeben, zuzüglich der Stufen, die erscheinen, während er die Stufen nimmt: 90 = s + 90x.

Im anderen Fall überwindet er 60 Stufen, die sich aus der Zahl der Stufen s bei stehender Rolltreppe ergeben, abzüglich der Stufen, die ihn die Rolltreppe derweil hinaufbefördert: 60 = s - 60x.

In beiden Gleichungen ist die unbekannte Komponente x enthalten, die als Faktor zu verstehen ist und angibt, wie viel Zeit der Mann pro Stufe benötigt. Da gemäß Aufgabenstellung der Mann immer in gleicher Geschwindigkeit unterwegs ist, ist der Wert für x in beiden Gleichungen gleich: x = \frac{t}{s}, wobei t die Zeit ist, die er benötigt um die s Stufen der stehenden Rolltreppe zu überwinden. Die Zeit selber ist unbekannt, ebenso zum gegenwärtigen Zeitpunkt noch die Zahl der Stufen. [x ist übrigens der Kehrwert der Geschwindigkeit, also Zeit pro Stufe (nicht: Stufenanzahl pro Zeiteinheit).]

Oder anders ausgedrückt, bzw. durch Umstellung der Gleichungen: 90 - s = 90x, bzw. s - 60 = 60x, sieht man, dass 90 - s die Zahl der Stufen angibt, die zusätzlich zu den s Stufen erschienen sind und entsprechend auch 90x. Für die Gegenrichtung entsprechend analog.

Beide Gleichungen lassen sich umformen (nach s auflösen)

s = 90 - 90x und
s = 60 + 60x

und anschließend gleichsetzen

90 - 90x = 60 + 60x | + 90x - 60

nach x auflösen zu

90x + 60x = 90 - 60
150x = 30 | :150
x = \frac{30}{150} = \frac{1}{5}

Damit benötigt der Mann \frac{1}{5} Zeiteinheiten pro Stufe, bzw. schafft 5 Stufen pro Zeiteinheit.

Den nun gefundenen Wert für x setzt man in eine der beiden ursprünglichen Formeln ein (oder in beide zur Kontrolle)

s = 90 - 90x = 90 - 90\cdot\frac{1}{5} = 90 - \frac{90}{5} = 90 - 18 = 72, bzw.
s = 60 + 60x = 60 + 60\cdot\frac{1}{5} = 60 + \frac{60}{5} = 60 + 12 = 72.

Wenn die Rolltreppe sich also nicht bewegt, müsste der Mann 72 Stufen überwinden.

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