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Rätsel um 100 Affen und 1600 Bananen

Beweis

Beweis

Den Beweis versuche ich indirekt anzutreten, indem ich behaupte, dass das Gegenteil der Fall ist, also eine Lösung existiert, bei der immer höchstens drei Affen die gleiche Zahl an Bananen haben.

Zunächst ein Test: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit könnte dies heißen, dass Affe 1 bis Affe 3 jeweils keine Banane ergattert haben. Allen anderen Affen gebe ich jeweils eine Banane mehr als dem jeweiligen Vorgänger, also für Affe 1 bis Affe 100: 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, …, 97.

Doch wie viele Bananen habe ich in dem Fall verteilt? Bevor man nun die fortlaufenden Zahlen 1 bis 97 einzeln in den Taschenrechner eingibt und summiert, kann man glücklicherweise auch den kleinen Gauß (Anzahl\cdot\frac{min+max}{2} = 97\cdot\frac{1+97}{2} = 4.753) zu Rate ziehen. In diesem Fall wurden 4.753 Bananen ausgegeben, also weit über dem verfügbaren Kontingent an 1.600 Bananen.

Hieraus erkennt man, dass eine zweite Bedingung für die Lösung, nämlich das Minimum, ebenfalls von Bedeutung ist, also die geringste Anzahl an Bananen, die benötigt wird um maximal drei Affen die gleiche Anzahl an Bananen zukommen zu lassen.

Mit dem testweisen Ansatz habe ich nur eine einzige Dreiergruppe untergebracht. Daher gehe ich nun in das andere Extrem und maximiere die Zahl der Dreiergruppen (und minimiere so den Bananenbedarf), indem ich jeweils drei Affen die gleiche Anzahl an Bananen gebe (beginnend mit 0) und der nächsten Dreiergruppe jeweils eine Banane mehr: 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, …, 32, 32, 32, 33. Der letzte Affe (Nummer 100) passt in keine Dreiergruppe mehr hinein und bekommt daher die größte Anzahl, aber gleichzeitig kleinste noch verfügbare Zahl, die von noch keiner Dreiergruppe verwendet wird, an Bananen für sich alleine.

Die Summe in diesem Fall ist 3\cdot33\cdot\frac{32}{2}+33 = 1.617 und damit neuerlich jenseits der verfügbaren 1.600 Bananen.

Bei dieser Konstellation ist vergleichsweise einfach zu erkennen, dass es sich um die Kombination mit der geringstmöglichen Anzahl an Bananen in der Gesamtsumme handelt1). Auch ist es nicht möglich eine weitere Dreiergruppe zu bilden. Der Versuch Zweiergruppen einzubauen führt nur zu einem höheren Bedarf an Bananen, so dass gezeigt ist, dass mindestens 1.617 Bananen benötigt werden, wenn höchstens drei Affen die gleiche Anzahl an Bananen haben sollen. Da allerdings nur eine geringere Anzahl zur Verfügung steht, ist dies nicht umsetzbar. Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass es mindestens vier Affen geben muss, die die gleiche Anzahl an Bananen haben müssen, wenn man weniger als 1.617 (und damit auch 1.600) Bananen an einhundert dieser Tiere verteilen möchte.

1) Falls die Gesamtsumme verkleinert werden könnte, müsste der letzte Affe oder (mindestens) eine der Dreiergruppen eine geringere Zahl an Bananen erhalten. Offensichtlich ist aber schon jede ganze Zahl von 0 bis 32 vergeben worden. Die einzige Option wäre für die erste Dreiergruppe (0, 0, 0) die Zahl auf -1 zu senken. Da dies allerdings nicht im gültigen Wertebereich liegt, erübrigt sich diese Betrachtung.

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