Das Kommutativgesetz (deutsch: Vertauschungsgesetz) besagt, dass die Reihenfolge bei der Addition und Multiplikation beliebig ist und lautet wie folgt:

bzw.

Die Anwendung dieses Gesetzes geht einem nach einiger Zeit in Fleisch und Blut über und scheint so simpel, dass man gleich wieder vergisst, dass es sich um ein “Gesetz” handelt.

Der praktische Nutzen zeigt sich in der Regel bei der Lösung größerer Gleichungen oder reinen Berechnungen, da durch das Vertauschen von Teiltermen eine Vereinfachung möglich ist. Hierzu ein Beispiel:

Auf den ersten Blick sieht dies nach mittelschwerer Kopfrechenarbeit aus. Betrachtet man die Zahlen jedoch genauer, so stellt man fest, dass die Zahlen 17 und 3 einfacher zu addieren sind. Ergo vertauscht man die Reihenfolge der Zahlen, so dass sich Folgendes ergibt:

Dass man die Zahlen in ihrer Reihenfolge beliebig vertauschen darf, ist durch das Kommutativgesetz geregelt.

Das Kommutativgesetz ist zunächst nur für Summen und Produkte gegeben. Betrachtet man allerdings, dass jede “Strichrechnung”, also auch die Differenz als Summe geschrieben werden kann, so lässt sich daraus folgern:

Ähnliches gilt für die Division. Auch hier gilt, dass jede “Punktrechnung” als Multiplikation formuliert werden kann. Damit folgt:

bzw. in Bruchschreibweise:

• (einfache Vertauschung der Summanden)
• (Vertauschung von Summanden zur Vereinfachung, bzw. Zusammenfassung eines Terms)