Potenzregeln und Formeln

Zugegeben, in meiner mathematischen Formelsammlung mache ich nun einen recht großen Sprung. Doch bereits bei den binomischen Formeln wurde mit Exponenten gerechnet, so dass ein näherer Blick auf die Potenzregeln und Potenzgesetze erlaubt sein darf. Allgemeines zu den Potenzregeln Die Regeln und Gesetze für das Rechnen mit Exponenten (Potenzen) sind wie folgt: Ein mehrfaches Aufmultiplizieren eines Wertes/einer Formel kann vereinfacht durch die Exponentendarstellung geschrieben werden. Dabei gibt der Wert des Exponenten, also die “Hochzahl” die Zahl der Multiplikationen der Basis mit sich selbst an. Wird der Wert a n-mal mit sich selbst multipliziert (z.B. n = 3, also ), so wird vereinfacht an (im Beispiel: a3) geschrieben. a wird dabei Basis und n Exponent genannt. Bei n=2 ist es also […]

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Binomische Formeln

Nachdem in den ersten Beiträgen meiner mathematischen Reihe die Grundlagen geschaffen wurden, kann ich mich nun dreier berühmt und berüchtigten Formeln zuwenden. Jeder Schüler wird sie einmal lernen und besser nie wieder vergessen müssen. Erste Binomische Formel Beweis/Herleitung: Die erste binomische Formeln lässt sich wie folgt herleiten: | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Zweite binomische Formel Die zweite binomische Formel unterscheidet sich nur durch ein Minuszeichen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen. Tückisch und damit eine Falle ist die Tatsache, dass nicht alle Vorzeichen umgekehrt werden. Beweis/Herleitung: Die zweite binomische Formel lässt sich wie folgt herleiten: | Vorzeichen bereinigen | Anwendung des Kommutativgesetzes q.e.d. Dritte binomische Formel Die dritte binomische Formel scheint zunächst überhaupt nicht zu den ersten beiden zu passen, doch […]

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Assoziativgesetz

In der dritten Folge meiner Auflistung der mathematischen Gesetze kommt nun das dritte Geschwisterkind nach Assoziativ- und Kommutativgesetz zum Tragen. Das Assoziativgesetz beschreibt wie das Distributivgesetz ein Verfahren zum Umgang mit Termen mit Klammern. Die Grundaussage dieses Gesetzes besagt dabei, dass bei der Auswertung einer Summe mit mehreren Summanden ist die Auswertungsreihenfolge frei wählbar: bzw. bei einem Produkt mit mehreren Operanden Es spielt also keine Rolle, ob zunächst die Werte a und b miteinander verrechnet werden und danach erst c hinzu genommen wird, oder ob nach der Berechnung von b und c erst der Wert a hinzugeführt wird. Wichtig ist für dieses Gesetzt, dass alle beteiligten Rechenoperationen identisch sind und es sich dabei nur um Additionen, bzw. Multiplikationen handelt. Hierzu ein […]

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Distributivgesetz

In meiner kleinen Reihe über die Grundlegenden Elemente der Mathematik befasse ich mich nun mit dem Bruder des Kommutativgesetz aus dem letzten Beitrag: dem Distributivgesetz. Verteilungsgesetz Das Distributivgesetz (deutsch: Verteilungsgesetz) ist das dritte mathematische “Grundgesetz” neben dem Assoziativ- und Kommutativgesetz und legt das Vorgehen des “Ausklammerns” und “Ausmultiplizierens” fest und lautet wie folgt: Unter Anwendung des Kommutativgesetzes gilt dann auch Das Distributivgesetz ist aber nicht auf eine Summe zweier Summanden beschränkt. So gilt z.B. auch Hilfreich ist hier die Party-Erklärung als Gedächtnisstütze: Anna (a) kommt zu einer Party und trifft dort Bert (b) und Charlie (c), die schon anwesend sind. Nun hat Anna (a) zwei Möglichkeiten die beiden anderen zu Begrüßen. Welchen Weg sie auch wählt, am Ende ist jeder […]

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Zonk – oder das drei Türen Problem

Die Lektion aus einer Fernsehshow der 90er: Warum Wechseln besser ist Die Aufgabe Vor dem Kandidaten sind drei Tore (oder drei Pakete oder drei Umschläge oder…) und nur hinter einem Tor befindet sich der Hauptgewinn. Nachdem der Kandidat sich für ein Tor entschieden hat, teilt ihm der Moderator, hinter welchem der beiden verbliebenen Tore der Hauptgewinn auf jeden Fall nicht ist. Nun kann der Kandidat sich noch einmal für eines der Tore entscheiden. Was macht er nun? Am Besten auf das vom Moderator nicht genannte Tor umsteigen – Paradox? Die Lösung Zunächst einmal ist die Gewinnwahrscheinlichkeit (also 33%), da drei Tore vorhanden sind und nur hinter einem der Gewinn steckt. Nachdem der Moderator jedoch eines der drei Tore als Niete […]

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Boot am Fluss

Klassiker: Wolf, Schaf und Kohlkopf

Rätsel Ein Bauer ist unterwegs mit einem Wolf, einem Schaf und einem Kohlkopf und kommt auf seinem Weg an einen Fluss, den er schließlich auch überqueren möchte. In einem bereitliegenden Boot ist jedoch nur Platz für ihn und eines der Tiere, bzw. den Kohlkopf. Den Wolf kann er naturgemäß allerdings nicht mit dem Schaf alleine lassen, ebenso das Schaf mit dem Kohlkopf, da dann der eine den anderen fressen würde. Wie kann der Bauer nun mit seinen Tieren und dem Kohlkopf unbeschadet den Fluss überqueren? Lösung Die Lösung dieser Aufgabe erfordert ein mehrfaches Übersetzen über den Fluss. Die minimale Anzahl der Flussüberquerungen beläuft sich dabei auf 7: Bauer rudert mit Schaf über den Fluss (Ufer A: Wolf, Kohl; Ufer B: […]

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Gefangenendilemma 2: Die Marke auf der Stirn

Rätsel Wieder einmal spielt das Rätsel in einem Gefängnis der Antike und drei zum Tode verurteilte Verbrecher warten auf ihr Schicksal. Doch der König will einem der Dreien, dem Klügsten unter ihnen, den Tod ersparen und gibt ihnen ein Rätsel auf: “Wir verbinden euch die Augen und jeder von euch wird auf der Stirn mit einer roten oder grünen Farbe markiert. Ihr werdet selber nicht sehen oder von uns erfahren, welche Farbe eure Markierung hat und ihr dürft auch nicht miteinander reden. Ihr werden dann in einen Raum so aufgestellt, dass ihr jeweils die beiden anderen sehen könnt. Auf mein Kommando nimmt jeder die Augenbinde ab und es heben diejenigen von euch einen Arm, die mindestens eine grüne Markierung auf […]

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