Scheitelpunktform einer quadratischen Gleichung

Im mathematischen Teil meines Blogs habe ich schon eine Weile keine Beiträge verfasst. Doch das soll sich nun ändern, nachdem ich wieder eine Reihe an Diskussionen mit einem Nachhilfeschüler hatte. Das Thema heute betrifft die Parabeln, also die graphische Darstellung einer quadratischen Gleichung. Um diese nicht zeichnen zu müssen, bedient der eher faule, aber gescheite Mathematiker die Scheitelpunktform der Gleichung. Von der Normalform zur Scheitelpunktform Über die Scheitelpunktform Für die Schreibweise einer quadratischen Gleichung haben sich zwei Möglichkeiten etabliert. Zum einen handelt es sich hierbei um die Normalform oder aber die für grafische Darstellunge interessantere Scheitelpunktform. Der Vorteil der letzteren liegt darin, dass die Lage und Orientierung der zugehörigen Parabel sehr leicht abgelesen werden kann. Die Normalform einer quadratischen Gleichung […]

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Klassische Rechenfehler in der Mathematik

Unter dieser passenden Überschrift (“Dont drink and derive”, übersetzt bedeutet diese in etwa “Nicht alkoholisiert rechnen”) werden T-Shirts mit einer interessanten Rechnung angeboten. Die Rechnung darauf soll beweisen, dass 2=1 ist. Die Rechnung ist verkürzt dargestellt, mit etwas mehr Zwischenschritten sei sie hier einmal zur Fehlersuche aufgeführt: Wie kann dies sein? Die Rechenschritte scheinen sind doch alle soweit korrekt ausgeführt worden. Die Lösung Der Kniff liegt hier in der Anfangsgleichung a=b. Daraus folgt, dass a-b=0 ist und damit wird die der drittletzte Rechenschritt unzulässig, da hier durch (a-b), also 0 geteilt wird. Ganz deutlich wird dieser Fehler, wenn man in der Rechnung jedes b durch ein a ersetzt (schließlich ist ja b=a). Dann lautet die Rechnung wie folgt: […] was […]

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Das Adventskranzproblem

Alle Jahre wieder… Nach dem vierten Advent stehen christliche Familien oft vor demselben Problem: Auf dem Adventskranz stehen vier Kerzenstümpfe unterschiedlicher Größe. Die Industrie bietet zu diesem Zweck bereits Kerzen unterschiedlicher Größe an, so dass – wenn man mit der größten Kerze beginnt – am Ende alle Kerzen gleich lang sind. Andere versuchen mit dem Abbrennen der Kerzen so zu jonglieren, dass alle Kerzen in etwa gleich weit abbrennen. Wie brennen die Kerzen auf einem Adventskranz gleichmäßig ab? Nun stellt sich die Frage, ob man dieses Problem auch mathematisch darstellen und lösen kann. Gibt es also die Möglichkeit für einen Adventskranz die Kerzen so anzuzünden (und die Tradition des Adventskranzes, also erst eine, dann zwei, dann drei und zum Schluss […]

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Rätsel

Klassiker: 4 Liter abmessen

Dieses Rätsel ist bekannt aus dem Film mit Bruce Willis: Gegeben sind ein 3 und ein 5 Liter Kanister und eine unbegrenzte Menge an Wasser. Gefordert sind nun exakt 4 Liter Wasser in einem der Kanister und es dürfen keine weiteren als die gegebenen Hilfsmittel (nämlich die beiden Kanister) verwendet werden. Lösung Die Lösung erreicht man nur durch Rückwärtsdenken, bzw. Subtraktion. Klar ist, dass sich die 4 Liter nur in dem größeren der beiden Behälter (5 Liter) wiederfinden kann. Hierzu muss aus dem 5 Liter Behälter 1 Liter abgeschöpft werden. Die Lösung sieht also folgendermaßen aus: Der 5 Liter Behälter wird gefüllt. (5l-Behälter: 5l, 3l-Behälter: 0l) Mit dem 5 Liter Behälter befüllt man den kleineren Behälter. (5l-Behälter: 2l, 3l-Behälter: 3l) Der 3 Liter Behälter wird […]

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a-b-c-Formel

Eine allgemeinere Form der PQ-Formel stellt die a-b-c-Formel dar. Bei dieser auch Mitternachtsformel genannten Form wird auf eine leicht geänderte Ausgangsform der quadratischen Gleichung zurückgegriffen. Mitternachtsformel Für eine allgemeine quadratische Gleichung der Form ax²+bx+c = 0 ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: Bei der A-B-C Formel oder ABC-Formel handelt es sich um die allgemeinere Form der P-Q-Formel. Klassischerweise wird diese Formel auch gerne als Mitternachtsformel bezeichnet, da jeder Schüler Mitten in der Nacht geweckt diese Formel aufsagen können sollte… Herleitung Die a-b-c-Formel als allgemeiner Fall der P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden. Dabei müssen zwei Fälle unterschieden werden. 1. Fall a = 0 Damit vereinfacht sich die Ausgangsformel. einsetzen Hier ist nun eine weitere Fallunterscheidung anzusetzen. Für […]

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PQ-Formel mit Herleitung

Ähnlich der binomischen Formel gibt es auch ein weiteres Werkzeug, dass in der Werkzeugkiste eines jeden Mathematikschülers nicht fehlen darf: Die PQ-Formel. Sie erspart eine ganze Menge an Schreibarbeit, wenn es darum geht eine quadratische Gleichung zu lösen. Die PQ-Formel Für eine quadratische Gleichung der Form ergeben sich für x im reellen Zahlenraum zwei Lösungen: In allgemeinerer Form gibt es für Problemstellungen dieser Art noch die a-b-c-Formel. Herleitung Die P-Q-Formel kann wie folgt hergeleitet werden: (quadratische Ergänzung) | Anwendung der ersten binomischen Formel | Wurzel ziehen, dadurch nun Fallunterscheidung q.e.d. Beweis Die Korrektheit der P-Q-Formel kann wie folgt überprüft werden: Da es zwei Lösungsfälle gibt (x1 und x1) ist der Beweis im Rahmen einer Fallunterscheidung zu führen. 1. Fall x […]

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Formeln für das Rechnen mit Wurzeln

Allgemeines zum Rechnen mit Wurzeln Für das Rechnen mit Wurzeln (Radizieren) gibt es die nachfolgenden Regeln und Formeln: Die Wurzel ist eine vereinfachte Schreibweise des gebrochenen Exponenten: Die n-te Wurzel aus a ist definiert als . Allgemeiner gilt dann: entspricht der n-ten Wurzel aus . Da die Darstellung des Wurzelzeichens im Web nicht so einfach möglich ist, wird häufig auch die Abkürzung sqrt oder SQRT für die Quadratwurzel (aus dem Englischen square root) verwendet. sqrt(4) ist dabei nichts anderes wie , also Wurzel aus 4. Die Wurzel stellt damit auch die Umkehrfunktion des Potenzierens dar. . (Die Quadratwurzel von a Quadrat ist gleich a.)

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