Potenzregeln und Formeln

Potenzregeln und Formeln

Die Regeln und Gesetze für das Rechnen mit Exponenten (Potenzen) sind wie folgt.

Ein mehrfach aufmultiplizieren eines Wertes/einer Formel kann vereinfacht durch die Exponentendarstellung geschrieben werden. Dabei gibt der Wert des Exponenten die Zahl der Multiplikationen an.

Wird a n mal mit sich selbst multipliziert (z.B. n = 3, also a*a*a), so wird vereinfacht aⁿ (im Beispiel: a³) geschrieben. a wird dabei Basis und n Exponent genannt.

Ist der Exponent gleich Null (0), so ist der Wert der Potenz immer gleich 1.

a⁰ = 1

Dies ist ein sinnvoll gesetzter Wert, der sich aus den nachfolgenden Rechenregeln auch (s.u.) herleiten lässt.

Bei negativen Exponenten wird mit dem Kehrwert der Basis gerechnet.

a^-n = 1/(aⁿ)

Werden zwei Potenzen mit gleicher Basis multipliziert (dividiert), so werden ihre Exponenten addiert (subtrahiert).

aⁿa^m = a^n+m

aⁿ/a^m = a^n-m

Der Beweis erfolgt dabei über vollständiger Induktion.

Werden zwei Potenzen mit gleichem Exponent multipliziert (dividiert), so werden die Basen miteinander multipliziert (durcheinander dividiert) und der Exponent beibehalten.

aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Auch dies wird per vollständiger Induktion bewiesen.

Stellt sich der Exponent als Bruch dar (z.B. a^n/m), so handelt es sich bei a^1/n um die Umkehrfunktion von aⁿ, also:

a^1/naⁿ = 1

Der Spezialfall, dass a^1/n gilt, wird auch n-te Wurzel genannt.

Spezialfall: Exponent ist 0

Vorausgesetzt wird, dass a <> 0 gilt.

a = a¹ | *(1/a)

a*(1/a) = a¹*(1/a) | negativer Exponent

1 = a¹a^-1 | Multiplikation von Potenzen

1 = a^(1-1) | Vereinfachung

1 = a⁰

q.e.d.